Question

【题目】如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．

（1）求证：DF=EF；

（2）如图2，若∠BAC=30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．

【解析】

(1)根据矩形的性质得到AD=BC，∠D=∠B=90°，由折叠的性质得到∠E=∠B=90°，CE=BC.根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)根据折叠的性质得到∠AEC=∠B=90°，CE=BC，根据直角三角形的性质得到CE= AC，CE=AG=EG=AD，根据菱形的判定定理即可得到结论．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠D=∠B=90°．

∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，

∴∠E=∠B=90°，CE=BC，

∴∠D=∠E，AD=CE．

∵∠AFD=∠CFE，

∴△ADF≌△CEF(AAS)，

∴DF=EF；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠ADC=∠B=90°．

∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，

∴∠AEC=∠B=90°，CE=BC．

∵∠CAB=30°，

∴∠CAE=30°，

∴CEAC．

∵点G是AC的中点，

∴CE=AG=EG=AD，

∴∠AEG=∠EAG=30°，

∴∠DAE=30°，

∴∠DAE=∠AEG，

∴AD∥GE，

∴四边形ADEG是菱形．