【题目】将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中,点
.
(1)点为边
上一点(点
不与
重合),沿
将纸片折叠得
的对应点
,边
与
轴交于点
.
①如图1,当点刚好落在
轴上时,求点
的坐标
②如图2,当时,若线段
在
轴上移动得到线段
(线段
平移时
不动),当△A′O′Q′周长最小时,求OO′的长度.
(2)如图3,若点为边
上一点(点
不与
重合),沿
将纸片折叠得
的对应点
,当
时,求点
的坐标.
【答案】(1)①A'(0,-1);②;(2)
【解析】
(1)①先利用勾股定理求出AB=2,根据折叠求出BA',再利用线段的和差求出OA'即可得出结论;
②先由折叠求出∠BPA=135°,进而求出OP=1,即可求出PA',求出点A'的坐标,从而求出直线A'B的解析式,求出OQ的长度,最后用等腰三角形的三线合一即可得出结论;
(2)先求出∠OPA=105°,再构造直角三角形,建立方程即可求出结论.
解:(1)①∵A(,0),B(0,1),
∴OA=,OB=1,根据勾股定理得,AB=2,
由折叠知,BA'=BA=2,PA=PA',
∴OA'=BA'-OB=1,
∴A'(0,-1);
②∵A′P⊥OA,
∴∠APA'=90°,
由折叠知,∠BPA=∠BPA'=(360°-∠APA')=135°,
∴∠BPO=45°,
∴OP=OB=1,
∴PA'=PA=OA-OP=-1,
∴A'(1,1-),
∵B(0,1),
∴直线A'B的解析式为y=-x+1,
令y=0,得,-x+1=0,
,∴Q(
,0),
∴OQ=,
∵线段OQ在x轴上移动得到线段O′Q′(线段OQ平移时A′不动),要△A′O′Q′周长最小,
则有,PA'是O'Q的垂直平分线,P是垂足,
(2)如图,
在Rt△AOB中,
∴∠OAB=30°
∵∠BPA'=30°,
∴∠APA'=150°,
由折叠知,∠APO=∠A'PO=(360°-150°)=105°,
过点P作PG⊥OA于G,
在Rt△PGA中,∠APG=60°,
∴∠OPG=45°,
设PG=m,
在Rt△POG中,AG=PG=
m,
在Rt△PGO中,OG=PG=m,
∴OA=OG+AG=m+m=
,
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【题目】如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F,,AC=14;
(1)求AB、BC的长;
(2)如果AD=7,CF=14,求BE的长.
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【题目】(1)若分式有意义,则x的取值范围是__.
(2)在平面直角坐标系中,点P(﹣4,3)到原点O的距离是____.
(3)有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边长为_____.
(4)化简的结果为____.
(5)如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE与AB交于点F,那么BF=_______.
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【题目】如图,两地相距
千米,甲、乙两人都从
地去
地,图中
和
分别表示甲、乙两人所走路程
(千米)与时间
(小时)之间的关系,下列说法: ①乙晚出发
小时;②乙出发
小时后追上甲;③甲的速度是
千米/小时; ④乙先到达
地.其中正确的是__________.(填序号)
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【题目】如图,己知A(0,8),B(6,0),点M、N分别是线段AB、AO上的动点,点M从点B出发,以每秒2个单位的速度向点A运动,点N从点A出发,以每秒1个单位的速度向点O运动,点M、N中有一个点停止时,另一个点也停止。设运动时间为t秒。
(1)当t为何值时,M为AB的中点;
(2)当t为何值时,△AMN为直角三角形;
(3)当t为何值时,△AMN是等腰三角形?并求此时点M的坐标.
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线经过原点,各边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数y=的图象上.若点A的坐标为(﹣2,﹣3),则k的值为________.
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【题目】某电信公司给用户提供了两种手机上网计费方式:
方式:以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;
方式:除收月租费20元外,再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费.
假设用户甲一个月手机上网的时间共有分钟,上网的费用为
元.
(1)分别写出用户甲按两种方式计费的上网费
元与上网时间分钟
之间的函数关系式;
(2)如果该用户每月通话时间400分钟,选择哪种计费方式更合算?
(3)如果该用户每月上网费为80元,选择哪种计费方式更合算?
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【题目】如图1,已知矩形ABCD,连接AC,将△ABC沿AC所在直线翻折,得到△AEC,AE交CD于点F.
(1)求证:DF=EF;
(2)如图2,若∠BAC=30°,点G是AC的中点,连接DE,EG,求证:四边形ADEG是菱形.
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