Question

【题目】如图，一次函数与反比例函数相交于、两点，与轴，轴分别交于、两点，已知，的面积为.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）连接，，点是线段的中点，直线向上平移个单位将的面积分成两部分，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）根据一函数解析式求得OC的长，在Rt△OCD中，利用三角函数与勾股定理求得OD的长，即D点坐标，然后代入一次函数解析式求得k的值，即可得到一次函数解析式，再根据△BOD的面积求得B点纵坐标，代入一次函数得到B点坐标，然后代入反比例函数即可得解；

（2）先联立方程求得M点坐标，再设向上平移个单位得到的直线l′为：y=﹣x+h，并设l′与线段AB交于点E，与线段OA交于点F.由题意可知：S△AEF：S△AOB=1:8，即S△AEF：S△AOM=1:4，得到E为AM中点，再将E点坐标代入y=﹣x+h求得h的值即可.

解：（1）令x=0，则y=1，

∴直线与y轴的交点C（0,1），

∴OC=1，

在Rt△OCD中，

∵，

∴CD==，

∴OD==2，

∴D（﹣2,0），

把D（﹣2,0）代入函数，解得：k=，

∴一次函数的解析式为：，

又∵S△BOD=·OD·∣yB∣=1，

∴yB=﹣1，

把yB=﹣1代入一次函数得：xB=﹣4，

∴B（﹣4，﹣1），

把B（﹣4，﹣1）代入函数，解得：m=4，

∴反比例函数的解析式为：；

（2）联立，

解得：或，

∴A（2,2），B（﹣4，﹣1），

∴M（﹣1，），

∴直线OM的解析式为：y=﹣x，

设向上平移个单位得到的直线l′为：y=﹣x+h，并设l′与线段AB交于点E，与线段OA交于点F.由题意可知：S△AEF：S△AOB=1:8，

∴S△AEF：S△AOM=1:4，

又∵l′与OM平行，

∴E是线段AM的中点，

∴E（，），

把E（，）代入y=﹣x+h得：=﹣×+h，

∴h=.