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【题目】如图,以RtABC的直角边AB为直径作O,交斜边AC于点D,点E为OB的中点,连接CE并延长交O于点F,点F恰好落在弧AB的中点,连接AF并延长与CB的延长线相交于点G,连接OF.

(1)求证:OF=BG;

(2)若AB=4,求DC的长.

【答案】1证明过程见解析;2DC=

【解析】

试题分析:1直接利用圆周角定理结合平行线的判定方法得出FO是ABG的中位线,即可得出答案;2首选得出FOE≌△CBE(ASA),则BC=FO=AB=2,进而得出AC的长,再利用相似三角形的判定与性质得出DC的长.

试题解析:1以RtABC的直角边AB为直径作O,点F恰好落在的中点,=

∴∠AOF=BOF, ∵∠ABC=ABG=90° ∴∠AOF=ABG, FOBG, AO=BO,

FO是ABG的中位线, FO=BG;

2FOE和CBE中, ∴△FOE≌△CBE(ASA), BC=FO=AB=2,

AC==2 连接DB, AB为O直径, ∴∠ADB=90° ∴∠ADB=ABC,

∵∠BCD=ACB, ∴△BCD∽△ACB, = = 解得:DC=

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