Question

7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E、F分别是边BC、CD上一点，且∠DAE=∠BAF，点G是线段AF的中点，连接DG、EG．
（1）求证：△CEF为等边三角形；
（2）求证：GE=$\sqrt{3}$DG．

Answer 1

分析 （1）先证出∠C=60°，再证明△ABE≌△ADF，得出BE=DF，即可得出结论；
（2）延长DG交AB于M，连接ME、MF，先证明△AMG≌△FDG，得出AM=DF，DG=MG，证出MB=CF=EF，再证明△DFE≌△EBM，得出ME=DE，∠BME=∠DEF，∠BEM=∠EDF，证出△DEM是等边三角形，根据三角函数即可得出结论．

解答 （1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=BC，∠ABE=∠ADF=120°，
∴∠C=60°，
∵∠DAE=∠BAF，
∴∠BAE=∠DAF．
在△ABE与△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADF}&{\;}\\{∠DAE=∠BAF}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，
∴BC-BE=DC-DF，
即CE=CF，
∵∠C=60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）如图所示，延长DG交AB于M，连接ME、MF，
∵AB∥CD，
∴∠MAG=∠DFG，∠AMG=∠FDG，
∵G是AF的中点，
∴AG=FG，
在△AMG和△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAG=∠DFG}&{\;}\\{AG=FG}&{\;}\\{∠AMG=∠FDG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMG≌△FDG（AAS），
∴AM=DF，DG=MG，
∴MB=CF=EF，
∵△CEF是等边三角形，
∴∠CFE=∠CEF=60°，
∴∠DFE=120°，
∴∠DFE=∠ABC，
在△DFE和△EBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{MB=EF}&{\;}\\{∠ABC=∠DFE}&{\;}\\{BE=FD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△EBM（SAS），
∴ME=DE，∠BME=∠DEF，∠BEM=∠EDF，
∴∠BEM+∠DEF=∠EDF+∠DEF=∠CFE=60°，
又∵∠CEF=60°，
∴∠DEM=60°，
∴△DEM是等边三角形，
∴∠EMD=60°，
又∵DG=MG，
∴EG⊥DM，
∴tan∠EDG=tan60°=$\frac{EG}{DG}$=$\sqrt{3}$，
∴EG=$\sqrt{3}$DG．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；证明等边三角形和全等三角形是解决问题的关键；本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线才能得出结论．