Question

15．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（-3，1），B（2，n）两点，直线AB分别交x轴、y轴于D，C两点．
（1）求出m和n的值；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求$\frac{AB}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，进而即可得出反比例函数解析式，再根据点B的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出n值；
（2）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（3）分别将x=0、y=0代入一次函数解析式中求出与之对应的y、x值，进而即可找出点C、D的坐标，由点A、B、C、D共线结合四点的横坐标即可求出$\frac{AB}{CD}$的值．

解答 解：（1）∵点A（-3，1）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=-3×1=-3，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{3}{x}$．
∵点B（2，n）在反比例函数y=-$\frac{3}{x}$的图象上，
∴n=-$\frac{3}{2}$．
（2）将A（-3，1）、B（2，-$\frac{3}{2}$）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{2k+b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
（3）当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴点C的坐标为（0，-$\frac{1}{2}$）；
当y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=0时，x=-1，
∴点D的坐标为（-1，0）．
∵点A、B、C、D在同一条直线上，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{{x}_{B}-{x}_{A}}{{x}_{C}-{x}_{D}}$=$\frac{2-（-3）}{0-（-1）}$=5．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m、n的值；（2）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点C、D的坐标．