【题目】中,
,
为高线,点
在边
上,且
,连接
,
,与边
相交于点
.
(1)如图1,当时,求证:
(2)如图2,当时,则线段
、
的数量关系为 ;
(3)如图3,在(2)的条件下,将绕点
顺时针旋转
,旋转后
边所在的直线与边
相交于点
,
边所在的直线与边
相交于点
,与高线
相交于点
,若
,且
,求线段
H的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)当时,
;(3)2
【解析】
(1)根据tan∠BAC=1=tan45°,得出△ABC为等腰直角三角形,再过E点作EK⊥BC,EK与CD相交于点K,得出∠GKE=45°=∠B,再根据∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF,得出△GEK∽△FEB,从而证出,即可得出EF=2EG;
(2)根据(1)的证明过程,同理可证出当tan∠BAC=2时,得出EF=EG;
(3)根据(2)的结论,先设AC=3k,得出BC=6k,EC=EC=2k,再过点E作EM⊥BC,EM与CD的延长线相交于点M,得出△AGC∽△EGM,得出
,再过点G作GN∥EH,与AH相交于点N,得出△ANG∽△AHE,得出NH的值,同理得出△GEM∽△FEB,得出EF=EG.同理可证EF′=EG′,∠FEF'=∠GEG',得出△GEG'≌△FEF',即可证出
的值,再根据HG′∥NG,同理可证
,得出EC=CH,得出△HCE是等腰直角三角形,在△HG'C中,求出CW的值,从而得出G′H的值.
(1)证明:在中,
,
,
,
.
为等腰直角三角形,
,
,
过点作
,
与
相交于点
,
,
,
,
,
,
;
(2)根据(1)的证明,同理可证:
当时,
;
(3)在中,
,
,
则,
设,则BC=6k,则
,
过点作
,
与
的延长线相交于点
,
,
.
在与
中,
,
,
,
,
过点作
,与
相交于点
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
同理可证,
,
,
,
.
,同理可证
,
,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
在中,过点
作
,垂足是
,
设,则HW=x,则
,
,
,
,
,
.
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【题目】如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,得△AOD,若△AOD为等腰三角形,则α=________
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,面积为4的正方形的顶点
与坐标原点重合,边
、
分别在
轴、
轴的正半轴上,点
、
都在函数
的图象上,过动点
分别作
轴、
轴的平行线,交
轴、
轴于点
、
.设矩形
与正方形
重叠部分图形的面积为
,点
的横坐标为m.
(1)求的值;
(2)用含的代数式表示
的长;
(3)求与
之间的函数关系式.
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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的和点P,给出如下定义:如果在
上存在一个动点Q,使得
是以CQ为底的等腰三角形,且满足底角
,那么就称点P为
的“关联点”.
当
的半径为2时,
在点
,
,
中,
的“关联点”是______;
如果点P在射线
上,且P是
的“关联点”,求点P的横坐标m的取值范围.
的圆心C在x轴上,半径为4,直线
与两坐标轴交于A和B,如果线段AB上的点都是
的“关联点”,直接写出圆心C的横坐标n的取值范围.
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【题目】2018年大唐芙蓉园新春灯会以“鼓舞中华”为主题,既有新年韵味,又结合“一带一路”展示了丝绸之路上古今文化经贸繁荣的盛况。小丽的爸爸买了两张门票,她和各个两人都想去观看,可是爸爸只能带一人去,于是读九年级的哥哥提议用他们3人吃饭的彩色筷子做游戏(筷子除颜色不同,其余均相同),其中小丽的筷子颜色是红色,哥哥的是银色,爸爸的是白色,将3人的3双款子全部放在 一个不透明的筷篓里摇匀,小丽随机从筷篓里取出一根,记下颜色放回,然后哥哥同样从筷篓里取出一根,若两人取出的筷子颜色相同则小丽去,若不同,则哥哥去。
(1)求小丽随机取出一根筷子是红色的概率;
(2)请用列表或画树状图的方法求出小随爸爸去看新春灯会的概率。
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【题目】某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级,A级:对学习很感兴趣;B级:对学习较感兴趣;C级:对学习不感兴趣),并将调查结果绘制成图①和图②的统计图(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了________名学生;
(2)图②中C级所占的圆心角的度数是__________;
(3)根据抽样调查结果,请你估计该市近20000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标(达标包括A级和B级)?
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【题目】已知AB是⊙O的的直径,弦CD与AB相交,∠BCD=25°。
(1)如图1,求∠ABD的大小;
(2)如图2,过点D作O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的度数。
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【题目】如图,二次函数图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为
,
与y轴负半轴交于点C.
若
是等腰直角三角形,求a的值.
探究:是否存在a,使得
是等腰三角形?若存在,求出符合条件的a的值;不存在,说明理由.
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