Question

20．一直角三角形两直角边的和是6cm，其中一边长xcm．
（1）设这个三角形面积为S，求S的最大值．
（2）设以这个直角的三角形的斜边长为边长的正方形的面积为S_正，求S_正的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的一直角边为x，则另一直角边长为6-x，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）设一直角边长为x，表示出另一直角边，再利用勾股定理列式表示出斜边的平方，即为正方形的面积，然后整理出顶点式形式，再利用二次函数的最值问题求解．

解答 解：（1）∵直角三角形的两条直角边之和是6，
∴直角三角形的一直角边为x，斜边长为y，则另一直角边长为6-x，
∴S=x（6-x），即S=-x²+6x，
∴S_最大=$\frac{-{6}^{2}}{4×（-1）}$=9；

（2）设斜边长为y，直角三角形的一直角边为x，则另一直角边长为6-x，
由勾股定理得：y²=x²+（6-x）²=2x²-12x+36，
∴设以这个直角的三角形的斜边长为边长的正方形的面积S_正=y²，
即S_正=2x²-12x+36=2（x-3）²+18，
所以，当x=3时，即三角形为等腰直角三角形时，以此三角形的斜边为边长的正方形面积有最小值为18．

点评 本题考查了二次函数的最值问题，勾股定理，此类题目，整理出顶点式形式求解更简便．