Question

18．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，60，61；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为$\frac{{{n^2}-1}}{2}$和$\frac{{{n^2}+1}}{2}$，请用所学知识说明它们是一组勾股数．

Answer 1

分析 （1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．

解答 解：（1）11，60，61；             
（2）后两个数表示为$\frac{{{n^2}-1}}{2}$和$\frac{{{n^2}+1}}{2}$，
∵${n^2}+{（\frac{{{n^2}-1}}{2}）^2}={n^2}+\frac{{{n^4}-2{n^2}+1}}{4}=\frac{{{n^4}+2{n^2}+1}}{4}$，${（\frac{{{n^2}+1}}{2}）^2}=\frac{{{n^4}+2{n^2}+1}}{4}$，
∴${n^2}+{（\frac{{{n^2}-1}}{2}）^2}={（\frac{{{n^2}+1}}{2}）^2}$．    
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，$\frac{{{n^2}-1}}{2}$，$\frac{{{n^2}+1}}{2}$三个数组成的数是勾股数．   
故答案为：11，60，61．

点评 本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．