【题目】如图1,线段AB、CD相交于点O,连结AC、BD,我们把形如图1的图形称之为“8字形”,那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥聪明才智,解决以下问题:
(1)在图1中,请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系,并说明理由;
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数有 个;
(3)在图2中,若∠B=70°,∠C=84°,∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N利用(1)的结论,试求∠P的度数;
(4)在图3中,如果∠B和∠C为任意角,并且AP和DP分别是∠CAB和∠BDC的四等分线,即∠PAO=∠CAO, ∠BDP=
∠BDO,那么∠P与∠C、∠B之间存在的数量关系是 (直接写出结论即可).
【答案】(1)∠A+∠C=∠D+∠B;(2)6;(3)77°;(4)
【解析】
(1)根据三角形的内角和即可得到结论;
(2)以线段AC为边的“8字型”有3个,以点O为交点的“8字型”有4个;
(3)根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B,即∠P=(∠C+∠B),然后把∠B=70°,∠C=84°代入计算即可;
(4)同(3)的步骤可求出∠P与∠C、∠B之间存在的数量关系.
(1)∠A+∠C=∠D+∠B,
∵∠A+∠C+∠AOC=∠D+∠B+∠BOD=180°,
∠AOC=∠BOD,
∴∠A+∠C=∠D+∠B;
(2)交点有点M、N各有1个,交点O有4个,所以,“8字形”图形共有6个;
(3)∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,
∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,
∴∠C-∠P=∠P-∠B,
即∠P=(∠C+∠B),
∵∠C=84°,∠B=70°
∴∠P=(∠C+∠B)=
(84°+70°)=77°.
(4) ∵∠PAO=∠CAO, ∠BDP=
∠BDO,
∴∠PAC=∠CAO, ∠ODP=
∠BDO,
∵∠CAP+∠C=∠ODP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,
∴∠CAO +∠C=
∠BDO +∠P,
∠CAO +∠P=
∠BDO +∠B,
∴∠CAO +3∠P=
∠BDO +3∠B,
∴∠C-3∠P=∠P-3∠B,
∴ .
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【题目】将一根24cm的筷子置于底面直径为8cm,高为15cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是_____.
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【题目】如图,A在O正北方向,B在O正东方向,且A、B到点O的距离相等,甲从A出发,以每小时60千米的速度朝正东方向行驶,乙从B出发,以每小时40千米的速度朝正北方向行驶,1小时后,位于点O处的观察员发现甲乙两人之间的夹角为45°,此时甲乙两人相距( )千米。
A. 80 B. 50 C. 100
D. 100
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【题目】(8分)如图,四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,﹣2),反比例函数的图象经过点C,一次函数
的图象经过A、C两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标;
(3)若点P是反比例函数图象上的一点,△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,求P点的坐标.
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【题目】如图1,将一副直角三角板放在同一条直线AB上,其中∠ONM=30°,∠OCD=45°.
(1)将图1中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转,使∠BON=30°,如图2,MN与CD相交于点E,求∠CEN的度数;
(2)将图1中的三角尺OMN绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,求在第几秒时,边MN恰好与边CD平行?(友情提醒:先画出符合题意的图形,然后再探究)
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【题目】如图,E是直线AC上一点,EF是∠AEB的平分线.
(1)如图1,若EG是∠BEC的平分线,求∠GEF的度数;
(2)如图2,若GE在∠BEC内,且∠CEG=3∠BEG,∠GEF=75°,求∠BEG的度数.
(3)如图3,若GE在∠BEC内,且∠CEG=n∠BEG,∠GEF=α,求∠BEG(用含n、α的代数式表示).
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【题目】为提高居民的节水意识,向阳小区开展了“建设节水型社区,保障用水安全”为主题的节水宣传活动,小莹同学积极参与小区的宣传活动,并对小区300户家庭用水情况进行了抽样调查,她在300户家庭中,随机调查了50户家庭5月份的用水量情况,结果如图所示.
(1)试估计该小区5月份用水量不高于12 t的户数占小区总户数的百分比;
(2)把图中每组用水量的值用该组的中间值(如0~6的中间值为3)来替代,估计该小区5月份的用水量.
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【题目】图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点.线段AB的端点在格点上.
(1)在图①、图2中,以AB为边各画一个等腰三角形,且第三个顶点在格点上;(所画图形不全等)
(2)在图③中,以AB为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上.
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E是BC上一点,直线AE交BD于点M,交DC的延长线于点F,G是EF的中点,连接CG.求证:
(1)△ABM≌△CBM;
(2)CG⊥CM.
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