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【题目】(问题发现)

1)如图1所示,在中,,点上一点,作于点,则________

(类比研究)

2)将绕点顺时针旋转到图2所示位置,此时(1)中的结论还成立吗?请说明理由;

(拓展延伸)

3)若点边中点,在绕点旋转的过程中,当三点共线时,求的长.

【答案】12;(2)成立;理由见详解;(3BD的长为.

【解析】

1)根据EDAB,得出,结合三角函数的定义计算sin30°即可;

2)根据在RtBACRtDEC中,BC=2ACDC=2EC,由旋转性质推出△BDC∽△AEC即可得出结论成立;

3)当BDE三点共线时,由旋转性质构图如下,分两种情况讨论:

①旋转至图②中△CED的位置时,在RtBECRtDEC中,分别利用勾股定理计算BEBD,然后求线段差即可;

②旋转至图②中△C的位置时,由切线长定理知BE=B,然后计算线段和即可.

1)∵EDAB,∠B=30°AC=2,∠A=90°

故答案为:2

2)成立.理由如下:

∵∠ABC=30°,∠EDC=30°

∴在RtBACRtDEC中,BC=2ACDC=2EC

由旋转性质知,∠BCD=ACE

∴△BDC∽△AEC

故答案为:成立;

3)当BDE三点共线时,由旋转性质构图如下,分两种情况

①旋转至图②中△CED的位置时,在RtABC中,BC=2AC=4

∵点EAC中点,

CE=1

∴在RtBEC中,BE=

∵在RtDEC中,EC=1,∠EDC=30°

DE=

BD=

②旋转至图②中△C的位置时,由切线长定理知BE=B=

∴由①知,B

综上所述,BD的长为

故答案为:

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