【题目】(问题发现)
(1)如图1所示,在中,,,点为上一点,作,交于点,则________;
(类比研究)
(2)将绕点顺时针旋转到图2所示位置,此时(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
(拓展延伸)
(3)若点为边中点,在绕点旋转的过程中,当、、三点共线时,求的长.
【答案】(1)2;(2)成立;理由见详解;(3)BD的长为或.
【解析】
(1)根据ED∥AB,得出,结合三角函数的定义计算sin30°即可;
(2)根据在Rt△BAC和Rt△DEC中,BC=2AC,DC=2EC,由旋转性质推出△BDC∽△AEC即可得出结论成立;
(3)当B、D、E三点共线时,由旋转性质构图如下,分两种情况讨论:
①旋转至图②中△CED的位置时,在Rt△BEC和Rt△DEC中,分别利用勾股定理计算BE、BD,然后求线段差即可;
②旋转至图②中△C的位置时,由切线长定理知BE=B,然后计算线段和即可.
(1)∵ED∥AB,∠B=30°,AC=2,∠A=90°,
∴,
∴,
故答案为:2;
(2)成立.理由如下:
∵∠ABC=30°,∠EDC=30°,
∴在Rt△BAC和Rt△DEC中,BC=2AC,DC=2EC,
由旋转性质知,∠BCD=∠ACE,
∴△BDC∽△AEC,
∴,
故答案为:成立;
(3)当B、D、E三点共线时,由旋转性质构图如下,分两种情况
①旋转至图②中△CED的位置时,在Rt△ABC中,BC=2AC=4,
∵点E为AC中点,
∴CE=1,
∴在Rt△BEC中,BE=,
∵在Rt△DEC中,EC=1,∠EDC=30°,
∴DE=,
∴BD=;
②旋转至图②中△C的位置时,由切线长定理知BE=B=,
∴由①知,B,
综上所述,BD的长为或,
故答案为:;.
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【题目】如图,AB是⊙O直径,CD为⊙O的切线,C为切点,过A作CD的垂线,垂足为D.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若⊙O半径为5,CD=4,求AD的长.
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【题目】某校为了解本校九年级男生体育测试中跳绳成绩的情况,随机抽取该校九年级若干名男生,调查他们的跳绳成绩(次/分),按成绩分成,,,,五个等级.将所得数据绘制成如下统计图.根据图中信息,解答下列问题:
该校被抽取的男生跳绳成绩频数分布直方图
(1)本次调查中,男生的跳绳成绩的中位数在________等级;
(2)若该校九年级共有男生400人,估计该校九年级男生跳绳成绩是等级的人数.
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【题目】如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
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【题目】如图,在中,点为边中点,动点从点出发,沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点,在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示,则的长为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,二次函数的图象过点,对称轴为直线,下列结论中一定正确的是____________(填序号即可).
①;
②若是抛物线上的两点,当时,
③若方程的两根为,且,则
④
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【题目】图 1、图 2 均是 6×6 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为 1,点 A、B、C、D 均在格点上.在图 1、图 2 中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.
(1)在图 1 中以线段 AB 为边画一个△ABM,使∠ABM=45°,且△ABM 的面积为 6;
(2)在图 2 中以线段 CD 为边画一个四边形 CDEF,使∠CDE=∠CFE=90°,且四边形 CDEF 的面积为 8.
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【题目】如图,正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A,B两点,过点A作AC垂直x轴于点C,连接BC.若△ABC的面积为2.
(1)求k的值;
(2)直接写出>2x时,自变量x的取值范围.
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