【题目】如图,二次函数的图象过点
,对称轴为直
线,下列结论中一定正确的是____________(填序号即可).
①;
②若是抛物线上的两点,当
时,
③若方程的两根为
,且
,则
④
【答案】
【解析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解:∵抛物线的开口向上,
∴a>0,
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,
∴c<0,
∵对称轴x=,
∴b=-2a<0,
∴abc>0,①正确;
∵是抛物线上的两点,且纵坐标相同,
∴点A、B关于直线x=1对称,
∴=2,代入解析式得y=4a+2b+c,
又∵b=-2a,
∴y=c,②正确;
设函数,
,由题意可知函数
与函数
的图象关于x轴对称,方程
的两根为
即为函数
的图象与直线
交点的横坐标,故可知
,故③错误;
由图象可知:当x=1时,y=a+b+c,当x=-1,y=a-b+c,
结合图象可知,其函数值都小于零,即a+b+c<0,a-b+c<0,故有 ,∴
,即
,故④正确,
故答案为:.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示),请你在图中画出这个新图象,当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是( )
A. ﹣<m<3 B. ﹣
<m<2 C. ﹣2<m<3 D. ﹣6<m<﹣2
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与
轴交于点
,与
轴交点
,抛物线
经过
,
两点,与
轴交于另一点
.如图1,点
为抛物线上任意一点,过点
作
轴交
于
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当是直角三角形时,求
点坐标;
(3)如图2,作点关于直线
的对称点
,作直线
与抛物线交于
,设抛物线对称轴与
轴交点为
,当直线
经过点
时,请你直接写出
的长.
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【题目】已知:AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,连接AD,OC.
(1)如图1,求证:AD∥OC;
(2)如图2,过点C作CE⊥AB于点E,求证:AD=2OE;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F在OC上,且OF=BE,连接DF并延长交⊙O于点G,过点G作CH⊥AD于点H,连接CH,若∠CFG=135°,CE=3,求CH的长.
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【题目】(问题发现)
(1)如图1所示,在中,
,
,点
为
上一点,作
,
交
于点
,则
________;
(类比研究)
(2)将绕点
顺时针旋转到图2所示位置,此时(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
(拓展延伸)
(3)若点为
边中点,在
绕点
旋转的过程中,当
、
、
三点共线时,求
的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点
,与
轴交于点
,连接
将
沿
所在的直线翻折,得到
连接
.
(1)若求抛物线的解析式.
(2)如图1,设的面积为
的面积为
,若
,求
的值.
(3)如图2,若
点是半径为
的
上一动点,连接
当点
运动到某一位置时,
的值最大,请求出这个最大值,并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系,点O是原点,直线y=x+6分别交x轴,y轴于点B,A,经过点A的直线y=﹣x+b交x轴于点 C.
(1)求b的值;
(2)点D是线段AB上的一个动点,连接OD,过点O作OE⊥OD交AC于点E,连接DE,将△ODE沿DE折叠得到△FDE,连接AF.设点D的横坐标为t,AF的长为d,当t>﹣3时,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,DE交OA于点G,且tan∠AGD=3.点H在x轴上(点H在点O的右侧),连接DH,EH,FH,当∠DHF=∠EHF时,请直接写出点H的坐标,不需要写出解题过程.
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【题目】在中,
,
,
.
(1)如图1,折叠使点
落在
边上的点
处,折痕交
、
分别于点
、
,若
,则
________.
(2)如图2,折叠使点
落在
边上的点
处,折痕交
、
分别于点
、
.若
,求证:四边形
是菱形;
(3)在(1)(2)的条件下,线段上是否存在点
,使得
和
相似?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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