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【题目】ABC中,ABBC,∠ABC90°DAC中点,点P是线段AD上的一点,点P与点A、点D不重合),连接BP.将ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(α180°),得到A1B1P,连接A1B1BB1

1)如图①,当α90°,在α角变化过程中,请证明∠PAA1=∠PBB1

2)如图②,直线AA1与直线PB、直线BB1分别交于点EF.设∠ABPβ,当90°α180°时,在α角变化过程中,是否存在BEFAEP全等?若存在,求出αβ之间的数量关系;若不存在,请说明理由;

3)如图③,当α90°时,点EF与点B重合.直线A1B与直线PB相交于点M,直线BBAC相交于点Q.若AB,设APxCQy,求y关于x的函数关系式.

【答案】(1)证明见解析;(2)α90°;(3y

【解析】

1)先利用旋转得出两个顶角相等的两个等腰三角形,即可得出结论;
2)假设存在,然后利用确定的出AE=BE,即可求出∠A1AP=AA1P,最后用∠BAC=45°建立方程化简即可;
3)先判断出△ABQ∽△CPB,得出比例式即可得出结论.

解:(1)∵将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(α180°),得到△A1B1P

∴∠APA1=∠BPB1αAPA1PBPB1P

∴∠AA1P=∠A1AP,∠BB1P=∠B1BP

∴∠PAA1=∠PBB1

2)假设在α角变化的过程中,存在△BEF与△AEP全等,

∵△BEF与△AEP全等,

AEBE

∴∠ABE=∠BAEβ

APA1P

∴∠A1AP=∠AA1P

ABBC,∠ABC90°

∴∠BAC45°

β+45°

α90°

3)当α90°时,

APA1PBPB1P,∠APA1=∠BPB290°

∴∠A=∠PBB145°

∵∠A=∠C,∠AQB=∠C+QBC45°+QBC=∠PBC

∴△ABQ∽△CPB

AB

y

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