Question

【题目】已知△ABC中，∠BAC=100°．

（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；

（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；

（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）∠BOC=180°-，八等分线.

【解析】

根据三角形内角和定理先求得∠ABC+∠ACB的度数，

（1）根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而利用三角形内角和定理求∠BOC的度数；

（2）根据三等分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而利用三角形内角和定理求∠BOC的度数；

（3）根据n等分线的定义可表示出∠OBC+∠OCB的度数，从而利用三角形内角和定理表示出∠BOC的度数，然后将∠BOC=170°代入求出n的值即可.

解：∵∠BAC=100°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，

（1）∵点O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB=∠ABC +∠ACB =（∠ABC+∠ACB）=40°，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-40°=140°；

（2）∵点O是∠ABC和∠ACB的三等分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB=∠ABC +∠ACB =（∠ABC+∠ACB）=，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-=；

（3）∵点O是∠ABC和∠ACB的n等分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB=∠ABC +∠ACB =（∠ABC+∠ACB）=，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-，

当∠BOC=170°时，即170°=180°-，

解得：n=8，即是八等分线的交线所成的角.