Question

已知一条抛物线与x轴相交于A（-3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，-2），其对称轴为x=-1．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）已知对称轴上存在一点M，使△BCM的周长最小，请求出M点的坐标；
（3）如果将抛物线向右平移1个长度单位得到另一条抛物线，写出这条抛物线的解析式，并求出两条抛物线的交点坐标；
（4）设P（x，y）是第二条抛物线上的一个动点，△PAB的面积为S，求S与x的函数关系式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）设顶点式解析式为y=a（x+1）²+k，然后把点A、C的坐标代入求出a、k即可；
（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接AC与对称轴的交点即为所求的点M，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，再求解即可；
（3）根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可，再联立两抛物线解析式求解即可得到交点坐标；
（4）令y=0求出点B的坐标，再分点P在x轴下方和上方两种情况，根据三角形的面积公式列式整理即可．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）²+k，
将点A、C坐标代入得，

(-3+1)2a+k=0 (0+1)2a+k=-2

，
解得

a= 2 3 k=- 8 3

．
所以y=

2

3

（x+1）²-

8

3

；

（2）由轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求的点M，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

-3k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 2 3 b=-2

，
所以，直线AC的解析式为y=-

2

3

x-2，
当x=-1时，y=-

2

3

×（-1）-2=-

4

3

，
∴△BCM的周长最小时，点M的坐标为（-1，-

4

3

）；

（3）原抛物线的顶点坐标为（-1，-

8

3

），
∵抛物线向右平移1个长度单位，
∴新抛物线的顶点坐标为（0，-

8

3

），
∴这条抛物线的解析式为y=

2

3

x²-

8

3

，
联立

y= 2 3 (x+1)2- 8 3 y= 2 3 x2- 8 3

，
解得

x=- 1 2 y=- 5 2

．
所以，两抛物线的交点坐标为（-

1

2

，-

5

2

）；

（4）令y=0，则

2

3

（x+1）²-

8

3

=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
所以，点B的坐标为（1，0），
∴AB=1-（-3）=1+3=4，
当x＜-2或x＞-2时，点P在x轴上方，△PAB的面积为S=

1

2

×4×（

2

3

x²-

8

3

）=

4

3

x²-

16

3

，
当-2＜x＜2时，点P在x轴下方，△PAB的面积为S=

1

2

×4×[-（

2

3

x²-

8

3

）]=-

4

3

x²+

16

3

，
当x=-2或x=2时，点P在x轴上，点P、A、B不能构成三角形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，三角形的面积，综合题，但难度不大，关键在于（2）判断出点M的位置，（4）根据点P的位置分情况讨论．