【题目】(1)观察推理:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l过点C,点A,B在直线l同侧,BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D,E.求证:△AEC≌△CDB;
(2)类比探究:如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB',连接B′C,求△AB′C的面积.
(3)拓展提升:如图3,等边△EBC中,EC=BC=3cm,点O在BC上且OC=2cm,动点P从点E沿射线EC以lcm/s速度运动,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF,设点P运动的时间为t秒.
①当t=______秒时,OF∥ED.
②当t=______秒时,点F恰好落在射线EB上.
【答案】(1)见解析;(2)2;(3)①1;②4
【解析】
(1)先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD,根据“AAS”证明△AEC≌△CDB即可;(2)如图,作B′D⊥AC于D,利用等角的余角相等得到∠B=∠B′AC,利用AAS可证明△B′AD≌△ABC,得到B′D=AC=2,然后根据三角形面积公式计算即可得答案;(3)①如图,由题意得EP=t,则PC=3﹣t,由平行线的性质可得∠FOC=BCE=60°,根可旋转的性质可得∠PQC=60°,可证明△COP是等边三角形,可得PC=OC=2,即可求t的值;②如图,利用旋转的性质得∠FOP=120°,OP=OF,利用外角性质及角的和差关系可得∠1=∠3,利用AAS可证明△BOF≌△CPO,可得PC=OB=1,则EP=EC+PC=4,然后计算点P运动的时间t即可.
(1)∵BD⊥l,AE⊥l,
∴∠AEC=∠BDC=90°,
∵∠EAC+∠ACE=90°,∠BCD+∠ACE=90°,
∴∠EAC=∠BCD,
在△AEC和△CDB中,
∴△AEC≌△CDB(AAS).
(2)如图,作B′D⊥AC于D,
∴∠ADB′=90°,
∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′,
∴AB′=AB,∠B′AB=90°,即∠B′AC+∠BAC=90°,
∵∠B+∠CAB=90°,
∴∠B=∠B′AC,
在△B′AD和△ABC中,
∴△B′AD≌△ABC(AAS),
∴B′D=AC=2,
∴△AB′C的面积=AC·B′D=×2×2=2.
(3)①如图,由题意得:EP=t,则PC=3﹣t,
∵OF∥ED
∴∠FOC=BCE,
∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF,
∴∠POF=120°,
∴∠POC=60°,
∵△BEC是等边三角形,
∴∠BCE=60°
∴△COP是等边三角形,
∴PC=OC=2,
∴2=3﹣t,
∴t=1,
即当t=1秒时,OF∥ED,
故答案为:1
②如图,∵OC=2,
∴OB=BC﹣OC=1,
∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF,
∴∠FOP=120°,OP=OF,
∴∠1+∠2=60°,
∵△BCE为等边三角形,
∴∠BCE=∠CBE=60°,
∴∠FBO=120°,∠PCO=120°,
∴∠2+∠3=∠BCE=60°,
∴∠1=∠3,
在△BOF和△CPO,,
∴△BOF≌△CPO(AAS),
∴PC=OB=1,
∴EP=EC+PC=3+1=4,
∴点P运动的时间t==4s,
故答案为:4
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【题目】如图,某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度.他们从点A出发沿着坡度为i=1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处,此时测得建筑物顶端C的仰角α=35°,建筑物底端D的俯角β=30°.若AD为水平的地面,则此建筑物的高度CD约为( )米.(参考数据:≈1.7,tan35°≈0.7)
A. 23.1 B. 21.9 C. 27.5 D. 30
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【题目】在四边形ABCD中∠C=55°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△EAF周长最小时,∠EAF的度数为( )
A.55°B.70°C.125°D.110°
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为A(2,3)、B (1,1)、C(2,1)
(1)画出关于轴对称的,并写出点的坐标为_________
(2)将向左平移4个单位长度得到,直接写出点的坐标为_________
(3)直接写出点B关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为-1)对称点B'的坐标为________
(4)在轴上找一点P,使PA+PB的值最小,标出P点的位置(保留画图痕迹)
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【题目】如图,已知动点A在函数y=(x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC,直线DE分别交x轴,y轴于点P,Q,当QE:DP=9:25时,图中的阴影部分的面积等于___.
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【题目】我们经常遇到需要分类的问题,画“树形图”可以帮我们不重复、不遗漏地分类.
(例题)在等腰三角形ABC中,若∠A=80°,求∠B的度数.
∠A、∠B都可能是顶角或底角,因此需要分成如图1所示的3类,这样的图就是树形图,据此可求出∠B=
(应用)
(1)已知等腰三角形ABC周长为19,AB=7,仿照例题画出树形图,并直接写出BC的长度;
(2)将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形,图2就是其中的一种拼法,请你画出其他所有可能的情形,并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度.(选用图3中的备用图画图,每种情形用一个图形单独表示,并用①、②、③…编号,若备用图不够,请自己画图补充)
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D,E分别为BC,AB边上一点,∠ADE=∠C.
(1)求证:△BDE∽△CAD;
(2)若CD=2,求BE的长.
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