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【题目】1)观察推理:如图1ABC中,∠ACB90°ACBC,直线l过点C,点AB在直线l同侧,BDlAEl,垂足分别为DE.求证:AEC≌△CDB

2)类比探究:如图2RtABC中,∠ACB90°AC2,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°AB',连接B′C,求AB′C的面积.

3)拓展提升:如图3,等边EBC中,ECBC3cm,点OBC上且OC2cm,动点P从点E沿射线EClcm/s速度运动,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF,设点P运动的时间为t秒.

①当t______秒时,OFED.

②当t______秒时,点F恰好落在射线EB上.

【答案】1)见解析;(22;(3)①1;②4

【解析】

1)先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD,根据“AAS”证明△AEC≌△CDB即可;(2)如图,作B′DACD,利用等角的余角相等得到∠B=∠B′AC,利用AAS可证明△B′AD≌△ABC,得到B′DAC2,然后根据三角形面积公式计算即可得答案;(3)①如图,由题意得EPt,则PC3t,由平行线的性质可得∠FOC=BCE=60°,根可旋转的性质可得∠PQC=60°,可证明△COP是等边三角形,可得PCOC2,即可求t的值;②如图,利用旋转的性质得∠FOP120°OPOF,利用外角性质及角的和差关系可得∠1=3,利用AAS可证明△BOF≌△CPO,可得PCOB1,则EPEC+PC4,然后计算点P运动的时间t即可.

1)∵BDlAEl

∴∠AEC=∠BDC90°

∵∠EAC+ACE90°,∠BCD+ACE90°

∴∠EAC=∠BCD

在△AEC和△CDB

∴△AEC≌△CDBAAS.

2)如图,作B′DACD

∴∠ADB′=90°

∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°AB′

AB′AB,∠B′AB90°,即∠B′AC+BAC90°

∵∠B+CAB90°

∴∠B=∠B′AC

在△B′AD和△ABC

∴△B′AD≌△ABCAAS),

B′DAC2

∴△AB′C的面积=AC·B′D=×2×22.

3)①如图,由题意得:EPt,则PC3t

OFED

∴∠FOC=BCE

∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF

∴∠POF120°

∴∠POC60°

∵△BEC是等边三角形,

∴∠BCE60°

∴△COP是等边三角形,

PCOC2

23t

t1

即当t1秒时,OFED

故答案为:1

②如图,∵OC2

OBBCOC1

∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF

∴∠FOP120°OPOF

∴∠1+260°

∵△BCE为等边三角形,

∴∠BCE=∠CBE60°

∴∠FBO120°,∠PCO120°

∴∠2+3=∠BCE60°

∴∠1=∠3

在△BOF和△CPO

∴△BOF≌△CPOAAS),

PCOB1

EPEC+PC3+14

∴点P运动的时间t4s

故答案为:4

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