Question

9．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP，CP，若∠APC=65°，则∠ABC=50°．

Answer 1

分析 延长BA，作PN⊥BD于N，PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，如图，根据角平分线定理得到PN=PF，PN=PM，则PM=PF，再根据角平分线定理的逆定理得到AP平分∠CAF，即∠PAC=∠PAF，在△PAC中，利用三角形内角和定理得∠PAC+∠PCA=115°，则∠FAC+∠ACD=2（∠PAC+∠PCA）=230°，接着利用三角形外角性质得∠FAC=∠ABC+∠ACB，所以∠ABC+∠ACB+∠ACD=230°，易得∠ABC=50°．

解答 解：延长BA，作PN⊥BD于N，PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，如图，
∵PB平分∠ABC，
∴PN=PF，
∵PC平分∠ACD，
∴PN=PM，∠PCA=∠PCD，
∴PM=PF，
∴AP平分∠CAF，
∴∠PAC=∠PAF，
在△PAC中，∵∠PAC+∠PCA+∠APC=180°，
∴∠PAC+∠PCA=180°-65°=115°，
∴∠FAC+∠ACD=2（∠PAC+∠PCA）=230°，
∵∠FAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB+∠ACD=230°，
而∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ABC=230°-180°=50°．
故答案为50°．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线定理和逆定理．证明PA为∠BAC的外角平分线是解题的关键．