Question

【题目】在矩形 中， ， ，点 是 边上一点，过点 作 ，交射线 于点 ，交射线 于点 ．

（1）如图1，若 ，则 度；
（2）当以 ， ， 为顶点的三角形是等边三角形时，依题意在图2中补全图形并求 的长；
（3）过点 作 ∥ 交射线 于点 ，请探究：当 为何值时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）

解：补全图形，如图所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=12，∠D=90°．

∵△ 是等边三角形，

∴GC=FC ， ．

∵∠2=∠3，

∴∠3=60°

在Rt△CDF中，DC=8 ，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

（3）

解：解法一：

过点F作FK⊥BC于点K，如图．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠5=∠ABC=90°，AD//BC．

∴∠1=∠3，∠2=∠AFG．

∵∠3=∠AFG，

∴∠1=∠2．

∴FG=FC．

∴GK=CK．

∵四边形FHEC是平行四边形，

∴FG=EG．

∵∠2=∠4，∠FKG=∠5=90°，

∴△FGK≌△EGB．

∴ ．

∴当 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．

解法二：如图．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABG=90°，AD//BC．

∴∠1=∠3，∠2=∠AFG．

∵∠3=∠AFG，

∴∠1=∠2．

∴FG=FC．

∵四边形FHEC是平行四边形，

∴CG = HG ,FG=EG,HE=FC．

∴EG=EH．

又∵∠ABG=90°，

∴BG=BH=x．

∴CG=HG=2x．

∴x+2x=12．

∴x=4．

∴当 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形

【解析】 （1）由矩形的性质得AD∥BC，∠D=90°，所以∠AFE=∠FGB，∠DFC=∠FCG，进而求得∠FGC=∠FCG，得到FC的长，再利用三角函数求得∠DFC=45°，即可得 ∠CFG=90°；
（2）先画出图形，由矩形与等边三角形的性质得到∠DFC=60°，利用三角函数求得FC的长，即为GC的长，再求BG即可；
（3）过点F作FK⊥BC于点K，由矩形的性质推出∠KCF=∠KGF，FG=FC，所以GK=CK．因为四边形FHEC是平行四边形，所以FG=EG．可得△FGK≌△EGB．所以BG=GK=KC= =4．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)，还要掌握平行四边形的性质(平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分)的相关知识才是答题的关键．