Question

【题目】（知识背景）

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．

（应用举例）

观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…

可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且

勾为3时，股，弦；

勾为5时，股，弦；

请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：

（1）如果勾为7，则股24＝　 　弦25＝ 　　 　

（2）如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股＝　 　，弦＝　 　．

（解决问题）

观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：

（3）如果是符合同样规律的一组勾股数，（表示大于1的整数），则　 　，　 　，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．

（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：　 　、24、　 　：第二组：　 　、　 　、37．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；；（3）；；（4）10；26； 12；35；

【解析】

（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=，

弦25=；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=，

弦=；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a=2m（m表示大于1的整数），则b=m2-1，c=m2+1；
（4）依据柏拉图公式，若m2-1=24，则m=5，2m=10，m2+1=26；若m2+1=37，则m=6，2m=12，m2-1=35．

解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=，

弦25=；
故答案为：；；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=，

弦=；
故答案为：；；

（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a=2m（m表示大于1的整数），则b=m2-1，c=m2+1；
故答案为：m2-1，m2+1；
（4）依据柏拉图公式，
若m2-1=24，则m=5，2m=10，m2+1=26；
若m2+1=37，则m=6，2m=12，m2-1=35；
故答案为：10、26；12、35．