Question

18．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}{x^2}$+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．
（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把点B（8，0）代入抛物线y=-$\frac{1}{4}{x^2}$+bx+4，求出b的值即可得出抛物线的解析式，进而可得出其对称轴方程；
（2）求出A点坐标，再由锐角三角函数的定义得出tan∠ACO=tan∠CBO，故∠ACO=∠CBO，由此可得出结论；
（3）求出BC解析式，将S_△BCD转化为$\frac{1}{2}$DH•OB，设D（t，-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4），H（t，-$\frac{1}{2}$t+4），面积可转化为S_△BCD=-$\frac{1}{8}$（t-4）²+2，△DBC的最大面积为2，此时D点坐标为（4，6）．

解答 解：（1）∵B点的坐标为B（8，0），
∴-16+8b+4=0，解得b=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y═-$\frac{1}{4}{x^2}$+$\frac{3}{2}$x+4，
对称轴方程为x=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{4}）}$=3；

（2）∵由（1）知，抛物线的对称轴方程为x=3，B（8，0）
∴A（-2，0），C（0，4），
∴OA=2，OC=4，OB=8，
∴tan∠ACO=tan∠CBO=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACO=∠CBO．
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．

（3）设BC解析式为y=kx+b，
把（8，0），（0，4）分别代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}8k+b=0\\ b=4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=4\end{array}\right.$，
解得y=-$\frac{1}{2}$x+4，
作DH⊥x轴，交BC于H．
设D（t，-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4），H（t，-$\frac{1}{2}$t+4），
S_△BCD=$\frac{1}{2}$DH•OB=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4+$\frac{1}{2}$t-4）×8=-$\frac{1}{8}$t²+t=-$\frac{1}{8}$（t²-8t+4²-16）=-$\frac{1}{8}$（t-4）²+2，
当t=4时，△DBC的最大面积为2，此时D点坐标为（4，6）．

点评 本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．