Question

【题目】阅读下面的材料：
解方程x4﹣7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，则x4=y2 ， ∴原方程可化为：y2﹣7y+12=0，解得y1=3，y2=4，当y=3时，x2=3，x=± ，当y=4时，x2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x1= ，x2=﹣ ，x3=2，x4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4=0；
（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10=0，试求a2+b2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设y=x2+x，则y2﹣5y+4=0，
整理，得
（y﹣1）（y﹣4）=0，
解得y1=1，y2=4，
当x2+x=1即x2+x﹣1=0时，解得：x= ；
当当x2+x=4即x2+x﹣4=0时，解得：x= ；
综上所述，原方程的解为x1 ， 2= ，x3 ， 4=
（2）解：设x=a2+b2 ， 则x2﹣3x﹣10=0，
整理，得
（x﹣5）（x+2）=0，
解得y1=5，y2=﹣2（舍去），
故a2+b2=5．
【解析】（1）利用换元的思想，把x2+x看做一个整体，先求出x2+x，再分别求出x的值；（2）利用换元法求出a2+b2后，可判断a2+b20,所求出的负值要舍掉.