Question

如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G，连接EG、DF、CF．
（1）△AEG、△DFC是直角三角形；（2）EG∥DF；（3）CG=

1

4

AD；（4）若

CG

BG

=k，则

AD

AB

=

k+1

2

．
上述说法正确的有（　　）个．

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：连接EG，如图，根据折叠的性质得ED=EF，∠AED=∠AEF，∠AFE=∠ADE=90°，由ED=EC得到EC=EF，则利用“HL”可判断Rt△EGF≌Rt△EGC，则∠CEG=∠FEG，于是有∠AEG=

1

2

∠DEF+

1

2

∠CEF=90°，即△AEG为直角三角形；由于EF=ED=EC，根据圆周角定理的推论得△DFC为直角三角形，则可对（1）进行判断；根据折叠得到DF⊥AE，而EG⊥AE，根据平行线的判定得到EG∥DF，于是可对（2）进行判断；由Rt△EGF≌Rt△EGC得CG=FG，设CG=k，BG=1，则AD=BC=k+1，FG=k，利用折叠的性质得AF=AD=k+1，则AG=AF+FG=2k+1，在Rt△ABG中，根据勾股定理计算出AB=2

k2+k

，则

AD

AB

=

k+1

2 k

，则可对（4）进行判断；由于只有当k=

1

3

时，即

CG

BG

=

1

3

，才有CG=

1

4

BC=

1

4

AD，由此可对（3）进行判断．

解答：解：连接EG，如图，
∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴ED=EF，∠AED=∠AEF，∠AFE=∠ADE=90°，
∵ED=EC，
∴EC=EF，
在Rt△EGF和Rt△EGC中

EG=EF EG=EG

，
∴Rt△EGF≌Rt△EGC，
∴∠CEG=∠FEG，
∴∠AEG=

1

2

∠DEF+

1

2

∠CEF=

1

2

×180°=90°，
∴△AEG为直角三角形；
∵EF=ED=EC，
∴△DFC为直角三角形，所以（1）正确；
∵∠AEG=90°，
∴EG⊥AE，
∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴DF⊥AE，
∴EG∥DF，所以（2）正确；
∵Rt△EGF≌Rt△EGC，
∴CG=FG，
设CG=k，BG=1，则BC=k+1，FG=k，
∴AD=k+1，
∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴AF=AD=k+1，
∴AG=AF+FG=2k+1，
在Rt△ABG中，
AB=

AF2-BG2

=

(2k+1)2-12

=2

k2+k

，
∴

AD

AB

=

k+1

2 k2+k

=

k+1

2 k

，所以（4）错误；
当k=

1

3

时，即

CG

BG

=

1

3

时，CG=

1

4

BC=

1

4

AD，所以（3）错误．
故选：B．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质、圆周角定理的推论和三角形全等的判定与性质．