Question

1．如图，在直角坐标系中，直线l与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A₁，以A₁B、BA为邻边作?ABA₁C₁；过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁，过点B₁作直线l的垂线交y轴于点A₂，以A₂B₁、B₁A₁为邻边作?A₁B₁A₂C₂；…；按此作法继续下去，则C₃的坐标是（-16$\sqrt{3}$，64）；C_n的坐标是（-2^2（n-1）$\sqrt{3}$，2²ⁿ）（n为正整数）．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质结合解直角三角形即可得出点C₁、C₂、C₃的坐标，由此即可找出变化规律“点C_n的坐标是（-2^2（n-1）$\sqrt{3}$，2²ⁿ）（n为正整数）”，此题得解．

解答 解：∵∠AOB=60°，OA=1，
∴AB=OA•tan∠AOB=$\sqrt{3}$，AA₁=AB•tan∠ABA₁=3，
∴点C₁的坐标是（-$\sqrt{3}$，4）．
同理可得出：点C₂的坐标是（-4$\sqrt{3}$，16），点C₃的坐标是（-16$\sqrt{3}$，64），
∴点C_n的坐标是（-2^2（n-1）$\sqrt{3}$，2²ⁿ）（n为正整数）．
故答案为：（-16$\sqrt{3}$，64）；（-2^2（n-1）$\sqrt{3}$，2²ⁿ）（n为正整数）．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及规律型中点的坐标，根据点的变化找出变化规律“点C_n的坐标是（-2^2（n-1）$\sqrt{3}$，2²ⁿ）（n为正整数）”是解题的关键．