Question

12．将三角形的面积和周长同时分为$\frac{m}{n}$的直线必过这个三角形的（　　）

• A． 三条中线的交点
• B． 三条高的交点
• C． 三条内角平分线的交点
• D． 三边中垂线的交点

Answer 1

分析 画出任意一个三角形，过三角形的内心任意画一条直线，分△ABC的周长为m、n两部分，然后三角形的面积公式求得两部分的面积即可．

解答 解：如图所示：△ABC为任意三角形，⊙O为三角形的内切圆，过点O任意画一条直线．
设：BE+BF=m，AE+AC+FC=n，设⊙O的半径为R．
∴△BEF的面积=$\frac{1}{2}（BE+BF）•R$=$\frac{1}{2}mR$，△ABC的面积=$\frac{1}{2}（AB+BC+AC）R$=$\frac{1}{2}（m+n）R$．
∴四边形AEFC的面积=△ABC的面积-△BEF的面积=$\frac{1}{2}nR$．
∴△BEF的面积：四边形AEFC的面积=$\frac{1}{2}mR$=m：n．
∴过三角形内心的直线将三角形的面积和周长同时分为$\frac{m}{n}$的两部分．
故选：C．

点评 本题主要考查的是角平分线的性质的应用，利用角平分线的性质求得三角形BEF和四边形AEFC的面积是解题的关键．