Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE＝CF；

（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2﹣2．

【解析】

（1）根据旋转的性质得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据菱形的性质得DF＝AF＝2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1＝∠BAC＝45，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF＝AF＝2，然后计算CF﹣DF即可．

（1）证明：如图，

∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，

∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45，

∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，

即∠BAE＝∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF，

∴BE＝CF；

（2）解：如图，

∵四边形ABDF为菱形，

∴DF＝AF＝2，DF∥AB，

∴∠1＝∠BAC＝45，

∴△ACF为等腰直角三角形，

∴CF＝AF＝2，

∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2．