Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，若点A（-2，n），B（1，-2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标；
（3）求点O到直线AB的距离．

Answer 1

分析 （1）将B坐标代入反比例函数解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将A坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）对于y=-x-1，令y=0求出x的值，即可得出C的坐标；
（3）确定出OC、AB的长，然后根据三角形AOB面积=三角形AOC面积+三角形BOC面积，即可求出．

解答 解：（1）∵点B（1，-2）在函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$，
∵点A（-2，n）在函数y=-$\frac{2}{x}$的图象上，
∴n=1，即A（-2，1），
∵y=kx+b经过A（-2，1）、B（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-x-1；

（2）在一次函数的解析式y=-x-1中，令Y=0得x=-1，
∴点C（-1，0），

（3）∵A（-2，1），B（1，-2），C（-1，0），
∴AB=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（1+2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，OC=1，
则S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{3}{2}$．
设点O到直线AB的距离为d，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•d=$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{2}$×d=$\frac{3}{2}$，
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴点O到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．