Question

6．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，当点P运动到什么位置时，△ACE的面积最大？求出此时P点的坐标和S_△ACE的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为|x_A-x_C|列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）存在四个这样的点．
①连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
②AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+$\sqrt{7}$，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+$\sqrt{7}$，0）；
④同③可求出F的坐标为（4-$\sqrt{7}$，0）；
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

解答 解：（1）令y=0，y=x²-2x-3=0，
解得x₁=-1或x₂=3，
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3，
得y=-3，
∴C（2，-3）；
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1．

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$PE×|x_A-x_C|=$\frac{1}{2}$（-x²+x+2）×3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+3，
∴S_△ACE=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
当x=$\frac{1}{2}$时，S_△ACE最大为$\frac{27}{8}$．

（3）存在4个这样的点F，分别是F₁（1，0），F₂（-3，0），F₃（4+$\sqrt{7}$，0），F₄（4-$\sqrt{7}$，0）．
①如图1，连接C与抛物线和y轴的交点，

∵C（2，-3），G（0，-3）
∴CG∥x轴，此时AF=CG=2，
∴F点的坐标是（-3，0）；
②如图2，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图3，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±$\sqrt{7}$，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+$\sqrt{7}$．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+$\sqrt{7}$，0）；

④如图4，同③可求出F的坐标为（4-$\sqrt{7}$，0）；

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度．