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【题目】如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点H是△ABC的内心,AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D,连结DB.

(1)求证:DH=DB;

(2)过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F,已知CE=1,圆O的直径为5.

求证:EF为圆O的切线;

求DF的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析,②DF=

【解析】

(1)先判断出∠DAC=DAB,ABH=CBH,进而判断出∠DHB=DBH,即可得出结论;

(2)①先判断出ODAC,进而判断出ODEF,即可得出结论;

②先判断出CDE≌△BDG,得出GB=CE=1,再判断出DBG∽△ABD,求出DB2=5,即DB=,DG=2,进而求出AE=AG=4,最后判断出OFD∽△AFE即可得出结论.

(1)证明:连接HB,

∵点HABC的内心,

∴∠DAC=DAB,ABH=CBH,

∵∠DBC=DAC,

∴∠DHB=DAB+ABH=DAC+CBH,

∵∠DBH=DBC+CBH,

∴∠DHB=DBH,

DH=DB;

(2)①连接OD,

∵∠DOB=2DAB=BAC

ODAC,

ACBC,BCEF,

ACEF,

ODEF,

∵点D在⊙O上,

EF是⊙O的切线;

②过点DDGABG,

∵∠EAD=DAB,

DE=DG,

DC=DB,CED=DGB=90°,

∴△CDE≌△BDG,

GB=CE=1,

RtADB中,DGAB,

∴∠DAB=BDG,

∵∠DBG=ABD,

∴△DBG∽△ABD,

DB2=ABBG=5×1=5,

DB=,DG=2

ED=2,

H是内心,

AE=AG=4,

DOAE,

∴△OFD∽△AFE,

DF=

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