【题目】如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点H是△ABC的内心,AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D,连结DB.
(1)求证:DH=DB;
(2)过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F,已知CE=1,圆O的直径为5.
①求证:EF为圆O的切线;
②求DF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析,②DF=.
【解析】
(1)先判断出∠DAC=∠DAB,∠ABH=∠CBH,进而判断出∠DHB=∠DBH,即可得出结论;
(2)①先判断出OD∥AC,进而判断出OD⊥EF,即可得出结论;
②先判断出△CDE≌△BDG,得出GB=CE=1,再判断出△DBG∽△ABD,求出DB2=5,即DB=,DG=2,进而求出AE=AG=4,最后判断出△OFD∽△AFE即可得出结论.
(1)证明:连接HB,
∵点H是△ABC的内心,
∴∠DAC=∠DAB,∠ABH=∠CBH,
∵∠DBC=∠DAC,
∴∠DHB=∠DAB+∠ABH=∠DAC+∠CBH,
∵∠DBH=∠DBC+∠CBH,
∴∠DHB=∠DBH,
∴DH=DB;
(2)①连接OD,
∵∠DOB=2∠DAB=∠BAC
∴OD∥AC,
∵AC⊥BC,BC∥EF,
∴AC⊥EF,
∴OD⊥EF,
∵点D在⊙O上,
∴EF是⊙O的切线;
②过点D作DG⊥AB于G,
∵∠EAD=∠DAB,
∴DE=DG,
∵DC=DB,∠CED=∠DGB=90°,
∴△CDE≌△BDG,
∴GB=CE=1,
在Rt△ADB中,DG⊥AB,
∴∠DAB=∠BDG,
∵∠DBG=∠ABD,
∴△DBG∽△ABD,
∴,
∴DB2=ABBG=5×1=5,
∴DB=,DG=2,
∴ED=2,
∵H是内心,
∴AE=AG=4,
∵DO∥AE,
∴△OFD∽△AFE,
∴,
∴,
∴DF=.
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【题目】如图,D是△ABC外接圆上的点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB.
(1)求证:∠BAD=∠PCB;
(2)求证:BG∥CD;
(3)设△ABC外接圆的圆心为O,若AB=DH,∠COD=23°,求∠P的度数.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b2-4ac>0;其中正确的结论有________(填序号)
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【题目】已知:如图,AB为半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,若直径AB的长为4,且BC=2,∠DAC=15°.
(1)求∠DAB的度数;
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π)
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【题目】如图,点E是△ABC的内心,线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.
(1)求证:ED=BD;
(2)若∠BAC=90°,△ABC的外接圆的直径是6,求BD的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H.点G在⊙O上,过点G作直线EF,交CD延长线于点E,交AB的延长线于点F.连接AG交CD于K,且KE=GE.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC∥EF,,FB=1,求⊙O的半径.
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【题目】已知二次函数y=x2+2x+a2,当x=m时,函数值y<0,则当x=m+2时,函数值y( )
A. 小于0 B. 等于0
C. 大于0 D. 与0的大小不能确定
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 ;
(3)△A2B2C2的面积是 平方单位.
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【题目】有一个测量弹跳力的体育器材,如图所示,竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米,CD=300厘米.现有一人站在斜杆AB下方的点E处,直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF,屈膝尽力跳起时,中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处,此时,就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩.
(1)设CE=x(厘米),EF=a(厘米),求出由x和a表示y的计算公式;
(2)现有一男生,站在某一位置尽力跳起时,刚好触到斜杆.已知该同学弹跳时站的位置为x=150厘米,且a=205厘米.若规定y≥50,弹跳成绩为优;40≤y<50时,弹跳成绩为良;30≤y<40时,弹跳成绩为及格,那么该生弹跳成绩处于什么水平?
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