【题目】如图,在中,,AC=4,BC=3,O是AB上一点,且AO:OB=2:5,过点O作垂足为D,
(1)求点O到直线AC的距离OD的长;(图1)
(2)若P是边AC上的一个动点,作交线段BC于Q(不与B、C重合)(图2)
①求证:;
②设,,试求关于的函数解析式,并写出定义域;
③若与相似,求的长度.
【答案】(1);(2)①见解析;②;③或
【解析】
(1)首先作,判断出,推得,即可判断出;然后根据,求出OD的长度,就是点O到AC的距离;
(2)①根据同角的余角相等得到,然后利用相似三角形的判定定理证明;
②由(1)可知,求出AD、PD的长度各是多少,然后根据,即可推得,据此求出y关于x的函数解析式,并写出函数定义域即可;
③根据题意,分两种情况:当时,当PQ平分时,分类讨论,根据②中函数解析式和角平分线的性质,分别求出AP长是多少即可.
解:(1)如图1,作,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
解得,
即点O到AC的距离是;
(2)①如图3,作,
∵,
∴,
又∵,
∴,
在和△QPC中, ,
∴;
②如图3,作,
,,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
解得,,
∵,
∴,
∴,
∴;
③如图4,当时,与相似,
∵,
∴,
∴,
解得,
∴,
解得或,
如图5,作于点E,
当PQ平分时,,
∵,,,
∴,
∵,,
∴,
又∵,,
∴,
∴,
即点P为CD的中点,
由,可得,
解得,
综上可得:当与相似时,、或.
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【题目】如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点,△ABC为等边三角形,∠COD=60°,且OD=OC.
(1)A点坐标为 ,B点坐标为 ;
(2)求证:点D在抛物线上;
(3)点M在抛物线的对称轴上,点N在抛物线上,若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形,请直接写出点M的坐标.
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【题目】如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;②MP=BD;③BN+DQ=NQ;④ 为定值.其中一定成立的是
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【题目】在△ABC 中,∠BAC=90°,AB<AC,M 是 BC 边的中点,MN⊥BC交 AC 于点 N,动点 P 在线段 BA 上以每秒 cm 的速度由点 B 向点 A 运动.同时, 动点 Q 在线段 AC 上由点 N 向点 C 运动,且始终保持 MQ⊥MP. 一个点到终点时,两个点同时停止运动.设运动时间为 t 秒(t>0).
(1)△PBM 与△QNM 相似吗?请说明理由;
(2)若∠ABC=60°,AB=4 cm.
①求动点 Q 的运动速度;
②设△APQ 的面积为 s(cm2),求 S 与 t 的函数关系式.(不必写出 t 的取值范围)
(3)探求 BP、PQ、CQ 三者之间的数量关系,请说明理由.
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【题目】下列命题中,说法正确的个数是( )
(1)两个等边三角形一定相似;(2)有一个角相等的两个菱形一定相似;
(3)两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例,则这两个三角形必相似;
(4)两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.
(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:MB∥CF;
(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;
(3)如图2,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME.
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【题目】如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1).
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;
(2)B点的对应点B′的坐标是 ;C点的对应点C′的坐标是 ;
(3)在BC上有一点P(x,y),按(1)的方式得到的对应点P′的坐标是 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上,顶点B在x轴正半轴上.若抛物线p=ax2-10ax+8(a>0)经过点C、D,则点B的坐标为________.
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