Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A（1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点C（﹣3，0）在x轴下方作x轴的垂线，再以点A为圆心、5为半径长画弧，交先前所作垂线于D，连接AD（如图），将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点D落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点D第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣6x+5；（2）m的值为5或7；（3）Q点的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（6，5）．

【解析】分析：（1）直接利用交点式可写出抛物线的解析式；

（2）利用勾股定理计算出CD，则可确定D（-3，-3），过点D作x轴的平行线交抛物线于点E、F，如图，解方程x2-6x+5=-3得到E（2，-3），F（4，-3），然后确定Rt△ACD沿x轴向左平移的距离，从而得到m的值；

（3）抛物线的对称轴为直线x=3，则P点的横坐标为3，E（2，-3），B（5，0），讨论：若四边形EBQP为平行四边形，利用平行四边形的性质和点平移的规律得到点Q的横坐标为6，则计算x=6对应的函数值得到此时Q点坐标；若四边形EBP′Q′为平行四边形或四边形EP″BQ″为平行四边形时，利用同样的方法可求出对应的Q点坐标．

详解：（1）抛物线的解析式为y=（x﹣1）（x﹣5），

即y=x2﹣6x+5；

（2）∵AD=5，AC=1+3=4，

∴CD==3，

∴D（﹣3，﹣3），

过点D作x轴的平行线交抛物线于点E、F，如图，

当y=﹣3时，x2﹣6x+5=﹣3，解得x1=2，x2=4，则E（2，﹣3），F（4，﹣3），

∴ED=2﹣（﹣3）=5，FD=4﹣（3）=7，

∴m的值为5或7；

（3）抛物线的对称轴为直线x=3，则P点的横坐标为3，E（2，﹣3），B（5，0），

若四边形EBQP为平行四边形，点E向右平移3个单位，向上平移3个单位得到B点，则点P向右平移3个单位，向上平移3个单位得到Q点，所以点Q的横坐标为6，当x=6时，y=x2﹣6x+5=5，此时Q（6，5）；

若四边形EBP′Q′为平行四边形，点B向左平移3个单位，向下平移3个单位得到E点，则点P′向左平移3个单位，向下平移3个单位得到Q′点，所以点Q的横坐标为0，当x=0时，y=x2﹣6x+5=5，此时Q′（0，5）；

若四边形EP″BQ″为平行四边形，点P″向左平移1个单位可得到E点，则点B向左平移1个单位可得到Q″点，所以点Q的横坐标为4，当x=4时，y=x2﹣6x+5=﹣3，此时Q′（4，﹣3），

综上所述，Q点的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（6，5）．