Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=7，△ABC的内切圆⊙O与边BC相切于点D，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC于点F，则DE-EF的值等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 首先根据等腰三角形的性质得出BD=DC，以及利用平行线的性质得出GD=2.5，再利用切割线定理求出EF的长，再利用△ABC∽△DEF，得出$\frac{FD}{EF}$=$\frac{AB}{BC}$，即可得求出PM的长，进而得出DE-EF的值．

解答 解：∵AB=AC=5，BC=7，△ABC的内切圆⊙O与边BC相切于点D（利用等腰三角形三线合一，）
∴BD=CD=3.5，
延长DE交AB于点G，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠EDF，GD=$\frac{1}{2}$BC=2.5，
∴AG=BG=2.5，
设⊙O与边AB相切于点R，
则BR=BD=3.5，
∴GR=3.5-2.5=1，
∵GR ²=GE×GD，
∴1=GE×2.5，
解得：GE=0.4，
∴DE=GD-GE=2.5-0.4=2.1，
∵∠C=∠EDF，FE=FD（切线长定理），
∴∠FED=∠FDE=∠C=∠B，
∴△ABC∽△DEF，
∴$\frac{FD}{ED}=\frac{AB}{BC}$，
即$\frac{FD}{2.1}$=$\frac{5}{7}$，
解得：DF=1.5，
∴EF=1.5，则
∴DE-EF=2.1-1.5=0.6．
故选：C．

点评 此题主要考查了三角形内切圆的性质以及切线长定理和相似三角形的判定等性质，得出MN的长度和△ABC∽△DEF是解决问题的关键．