Question

3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y₁=$\frac{4}{x}$的图象经过点B；反比例函数y₂=$\frac{2}{x}$的图象经过点C（$\sqrt{2}$，m）．
（1）求点B的坐标；
（2）△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得点C的坐标，然后根据平行于x轴上点纵坐标相等，可知点B的纵坐标，然后可求得点B的横坐标；
（2）连接MD、ME、MF．由点B和点C的坐标可求得AC、BC的长，依据勾股定理可求得AB的长，然后在△ABC中利用面积法可求得圆M的半径，从而可求得点M的坐标．

解答 解：（1）∵CA⊥x轴，∠ACB=90°，
∴CB∥x轴．
∵将C（$\sqrt{2}$，m）代入函数y₂=$\frac{2}{x}$得：n=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴点C（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
∴点B的纵坐标为$\sqrt{2}$．
∵将y₁=$\sqrt{2}$代入得：$\frac{4}{x}$=$\sqrt{2}$，解得；x=2$\sqrt{2}$，
∴点B的坐标为（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
（2）如图所示：连接ME、MD、MF．

∵⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，
∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥AB．
∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．
∴四边形CDME为矩形．
∵MD=ME，
∴四边形CDME为正方形．
∵在Rt△ACB中，AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴AB=2．
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC+AB）•r，
∴⊙M的半径=$\frac{AC•BC}{AC+BC+AB}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+2}$=$\sqrt{2}$-1．
∴点M的坐标为（2$\sqrt{2}$-1，1）．

点评 本题主要考查的是反比例函数的综合应用，解答本题主要应用了反比例函数图象上的点与函数解析式的关系、平行与坐标轴上的点的坐标特点、三角形的内切圆、正方形的性质和判定，求得⊙M的半径是解题的关键．