Question

【题目】探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．

（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；

②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　 　关系时，线段BE、DF和EF之间依然有①中的结论存在，请你写出该结论的证明过程；

（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）①EF＝BE+DF；②∠B+∠D＝180°，理由见解析；（2）DE＝

【解析】

（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；

②根据旋转的性质作辅助线，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；

（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．

(1)①如图，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠ADC+∠ADG=90°

∴F、D、G共线，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，

即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中，

∵，

∴△EAF≌△GAF(SAS)，

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=DF+DG=BE+DF；

②∠B+∠D=180°，

理由是：

如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，

则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，

∵∠B+∠ADC=180°，

∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴C、D、G在一条直线上，

与①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

，

∴△EAF≌△GAF(SAS)，

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

故答案为：∠B+∠D=180°；

(2)∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，

由勾股定理得：BC=，

如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．

则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，

∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

在△FAD和△EAD中

，

∴△FAD≌△EAD(SAS)，

∴DF=DE，

设DE=x，则DF=x，

∵BC=4，

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，

∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，

∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，

即x2=(3﹣x)2+12，

解得：x=，

即DE=．