Question

【题目】如图二次函数y=ax2+bx-2的图象交x轴于A(﹣1，0)，B(2，0)两点，交y轴于点C，过A，C两点画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在平面直角坐标系中是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点D的坐标，如果不存在，请说明理由。

（3）若点Q在AC下方的抛物线上运动，求以A、C、Q为顶点的三角形的面积最大值.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-2（2）（3，-2）、（1，2）、（-3，-2）．（3）

【解析】

（1）根据待定系数法即可求解；

（2）根据平行四边形的特点作图即可求解；

（3）先求出直线AC的解析式，过Q点QF⊥x轴于F点，交直线AC于P点，设Q（x, x2-x-2），表示出PQ的长，再根据S△ACQ =AO×PQ列出二次函数关系式即可求解．

（1）把A(﹣1，0)，B(2，0)代入y=ax2+bx-2得

解得

∴y=x2-x-2

（2）令x=0，得y=-2

∴C（0，-2）

如图，∵A(﹣1，0)，B(2，0)，C（0，-2）

①四边形ABD1C是平行四边形，

∴CD1=AB=3

∴D1（3，-2）

②四边形ACBD2是平行四边形，

AB,CD2交于E点，E（，0）

∴C、D2关于E点对称，

∴D2（1，2）

③四边形ABCD3是平行四边形，

∴CD3=AB=3

∴D3（-3，-2）

综上，点D的坐标为（3，-2）、（1，2）、（-3，-2）．

（3）设AC为y=kx+b，把A(﹣1，0)，C（0，-2）代入得

解得

∴直线AC的解析式为y=-2x-2

过Q点QF⊥x轴于F点，交直线AC于P点，

设Q（x, x2-x-2），

∴P（x, -2x-2）

∴PQ=（-2x-2）- （x2-x-2）=- x2-x

∴S△ACQ= S△APQ+ S△PCQ=AF×PQ+FO×PQ =AO×PQ=×1×（- x2-x）=-（x+）2+

∴当x=-时，S△ACQ的最大值是．