Question

【题目】点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）是关于x的函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m+1（m为实数）图象上两个不同的点．对于下列说法：①不论m为何实数，关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m+1＝0必有一个根为x＝1；②当m＝0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0成立；③当x1+x2＝0时，若y1+y2＝0，则m＝﹣1；④当m≠0时，抛物线顶点在直线y＝﹣x+1上．其中正确的是（　　）

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据方程解的定义对①进行判断；先得到当m=0时，函数解析式为y=﹣x+1，则可计算出，于是可根据非负数的性质对②进行判断；当m=﹣1时，解析式为﹣+，可计算出+=2≠0，于是可对③进行判断；先计算出顶点坐标，然后根据一次函数图象上点的坐标特征对④进行判断．

当x=1时，y=mx2﹣(2m+1)x+m+1=m﹣2m﹣1+m+1=0，

则方程mx2﹣(2m+1)x+m+1=0必有一个根为x=1，所以①正确；

当m=0时，y=﹣x+1，则y1=﹣x1+1，y2=﹣x2+1，

所以(x1﹣x2)(y1﹣y2)=(x1﹣x2)(﹣x1+x2)=﹣(x1﹣x2)2，

而点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)是两个不同的点，

所以x1x2，

则(x1﹣x2)(y1﹣y2)=﹣(x1﹣x2)2＜0，所以②正确；

当m=﹣1时，y=﹣x2+x，

则y1=﹣x12+x1，y2=﹣x22+x2，

所以y1+y2=﹣x12+x1﹣x22+x2=﹣(x1+x2)2+2x1x2+(x1+x2)，

当x1+x2=0时，

y1+y2=2x1x2≠0，所以③错误；

当m≠0时，顶点的横坐标为，纵坐标为，

当x=时，，

所以抛物线的顶点不在直线上，所以④错误．

综上：①②正确，

故选：A．