Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
（2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）

所以，可建立方程组： ，

解得：

所以，所求二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3，

所以，顶点M（1，4），点C（0，3）

（2）

解：直线y=kx+d经过C、M两点，

所以 ，

即k=1，d=3，

直线解析式为y=x+3．

令y=0，得x=﹣3，

故D（﹣3，0）

∴CD= ，AN= ，AD=2，CN=2

∴CD=AN，AD=CN（2分）

∴四边形CDAN是平行四边形

（3）

解：假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，

因为这个二次函数的对称轴是直线x=1，

故可设P（1，y0），

则PA是圆的半径且PA2=y02+22，

过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．

由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，

故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，y0）得PE=y0，PM=|4﹣y0|， ，

由PQ2=PA2得方程： ，

解得 ，符合题意，

所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1， ）或（1， ）

【解析】（1）根据题意将点A，B，N的坐标代入函数解析式，组成方程组即可求得；（2）求得点C，M的坐标，可得直线CM的解析式，可求得点D的坐标，即可得到CD= ，AN= ，AD=2，CN=2，根据平行四边形的判定定理可得四边形CDAN是平行四边形；（3）假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x=1，故可设P（1，y0），则PA是圆的半径且PA2=y02+22 ， 过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，继而求得满足题意的点P存在，其坐标为（1， ）或（1， ）．