Question

【题目】如图①，已知抛物线y＝-x2＋bx＋c与x轴交于点A(-1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D的坐标为(1，0)，点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；

(3)如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S四边形BDCP最大值为；（3）存在，或

【解析】

（1）把A，B两点坐标代入解析式，求出b，c的值即可；

（2）设，过点P作PE⊥x轴于点E，则，再由S四边形BDCP=S梯形COEP-S△COD+S△BEP，求出最大值即可；

（3）分三种情况讨论，①当OQ=BQ时，②当BO=BQ时，③当OQ=OB时，分别求出t即可.

解：（1）∵点A(-1，0)、B(3，0)，

∴，

解得： ，

∴；

（2）∵点P为第一象限内抛物线上的一点，

设，过点P作PE⊥x轴于点E，

抛物线与y轴的交点，令x=0，得y=3，

∴，

∴OC=3，

∵D（1，0），

∴OD=1，

∵，

∴S四边形BDCP=S梯形COEP-S△COD+S△BEP

，

∴当时，S四边形BDCP最大值为；

（3）∵M（2t，0），MN⊥x轴，

∴Q（2t，3-2t），

∵△BOQ为等边三角形，

∴分三种情况讨论，

①当OQ=BQ时，

∵QM⊥OB，

∴OM=MB，

∴2t=3-2t，

∴；

②当BO=BQ时，

在Rt△BMQ中，∠OBQ=45°，

∴，

∴，即，

∴；

③当OQ=OB时，

则Q、C重合，此时t=0，

由题知，t＞0，

∴不存在，

综上，或时，△BOQ为等腰三角形.