Question

13．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，3），B（4，0）两点．
（1）用仅含字母a的式子表达这个二次函数的解析式．
（2）该二次函数的对称轴不可能是（　　），并对你的选择进行证明．
A．x=0        B．x=1       C．x=2        D．x=3
（3）以-a代替（1）中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解析式．
①二次函数y′的图象是否也经过A，B两点？请说明理由．
②当x=t（0≤t≤4）时，求|y-y′|的最大值（用仅含字母a的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据对称轴公式求得对称轴，即可判断；
（3）①以-a代替（1）中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解析式，然后把A、B两点代入即可验证；
②解|y-y′|得到②|y-y′|=|2a（x-2）²-8a+6|，当x=t时，|y-y′|=|2a（t-2）²-8a+6|，所以当t=2时，有最大值|-8a+6|．

解答 解：（1）将A（0，3），B（4，0）分别代入解析式得
$\left\{\begin{array}{l}c=3\\ 16a+4b+c=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=-4a-\frac{3}{4}\\ c=3\end{array}\right.$，
故函数解析式为y=ax²-（4a+$\frac{3}{4}$）x+3；
（2）对称轴为x=-$\frac{-（4a+\frac{3}{4}）}{2a}$=2+$\frac{3}{8a}$≠2，
故选C．
（3）①y′=-ax²+bx+c，
由（1）可得y′=-ax²-（-4a+$\frac{3}{4}$）x+3，
将x=0代入解析式得，y′=3，故A（0，3）在抛物线上；
将x=4代入解析式得，y′=-16a+16a-3+3=0，故B（4，0）在抛物线上．
②|y-y′|=|ax²-（4a+$\frac{3}{4}$）x+3-[-ax²-（-4a+$\frac{3}{4}$）x+3]|
=|2ax²-8ax+6|
=|2a（x²-4x+4-4）+6|
=|2a（x-2）²-8a+6|
即|y-y′|=|2a（t-2）²-8a+6|，
故|y-y′|最大值为|-8a+6|．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等，待定系数法求解析式是本题的关键．