Question

【题目】如图，在中，，，，点为内一动点．过点作于点，交于点．若为等腰三角形，且，则的长为__________．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

分以下三种情况：①若BP=CP，过点P作PF⊥BC于点F，有DP=CF=BC；②若BP=BC，过点P作PF⊥BC于点F，则在Rt△BPF中先求出BF的长，从而根据DP=CF可得出DP的长；③若BC=CP，由勾股定理以及相似三角形的判定与性质分别求出DP，DE的长，此时DP＞DE，此种情况不存在．综上可得出结果．

解：∵∠ACB=90°，PD⊥AC，

∴DE∥BC．

∴，

又BC=5，∴CD=3．

分以下三种情况：

①若BP=CP，如图1，过点P作PF⊥BC于F，

则四边形CDPF为矩形，

∴DP=CF，

又CP=BP，PF⊥BC，

∴CF=BF=BC=，

∴DP=CF=；

②若BP=BC=5，如图2，过点P作PF⊥BC于F，

则四边形CDPF为矩形，

∴PF=CD=3，

在Rt△BPF中，由勾股定理可得BF=4，

∴CF=BC-BF=1，

∴DP=1；

③若BC=CP=5，如图3，

则在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP=4，

又DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴，∴DE=，

此时DP＞DE，不符合题意．

综上所述，PD的长为1或．

故答案为：1或．