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【题目】如图,已知二次函数的图象过点O(0,0),A(4,0),B(2,﹣),M是OA的中点.

(1)求此二次函数的解析式;

(2)设P是抛物线上的一点,过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q,要使四边形PQAM是菱形,求P点的坐标;

(3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,得曲线OB′A(B′为B关于x轴的对称点),在原抛物线x轴的上方部分取一点C,连接CM,CM与翻折后的曲线OB′A交于点D.若CDA的面积是MDA面积的2倍,这样的点C是否存在?若存在求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1) y=x2x.(2) P(1,﹣).(3) 点C的坐标为(2+2)或(2﹣2).

【解析】

试题(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式;

(2)由四边形PQAM是菱形,可知PQ=2且PQx轴,因此点P、Q关于对称轴x=2对称,可得点P横坐标为1,从而求出点P的坐标;

(3)假设存在满足条件的点C.由CDA的面积是MDA面积的2倍,可得点C纵坐标是点D纵坐标的3倍,由此列方程求出点C的坐标.

试题解析:(1)抛物线过原点,设其解析式为:y=ax2+bx.

抛物线经过点A(4,0),B(2,﹣),

,解得

二次函数解析式为:y=x2x.

(2)y=x2x=(x﹣2)2

抛物线对称轴为直线:x=2.

四边形PQAM是菱形,

PQ=MA=2,PQx轴.

点P、Q关于对称轴x=2对称,

点P横坐标为1.

当x=1时,y==﹣

P(1,﹣).

(3)依题意,翻折之后的抛物线解析式为:y=﹣x2+x.

假设存在这样的点C,

∵△CDA的面积是MDA面积的2倍,

CD=2MD,CM=3MD.

如图所示,分别过点D、C作x轴的垂线,垂足分别为点E、点F,则有DECF.

CF=3DE,MF=3ME.

设C(x,x2x),

则MF=x﹣2,ME=MF=(x﹣2),OE=ME+OM=x+

D(x+,﹣(x+)2+(x+)).

CF=3DE,

x2x=3[﹣(x+)2+(x+)],

整理得:x2﹣4x﹣8=0,

解得:x1=2+2,x2=2﹣2

y1=,y2=

存在满足条件的点C,点C的坐标为(2+2)或(2﹣2).

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学生立定跳远测试成绩的频数分布表

分组

频数

1.2≤x<1.6

a

1.6≤x<2.0

12

2.0≤x<2.4

b

2.4≤x<2.8

10

请根据图表中所提供的信息,完成下列问题:

(1)表中a=   ,b=   ,样本成绩的中位数落在   范围内;

(2)请把频数分布直方图补充完整;

(3)该校九年级共有1000名学生,估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x<2.8范围内的学生有多少人?

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成绩

划记

频数

百分比

优秀

正正正

a

30%

良好

正正正正正正

30

b

合格

9

15%

不合格

3

5%

合计

60

60

100%

(说明:40﹣﹣﹣55分为不合格,55﹣﹣﹣70分为合格,70﹣﹣﹣85分为良好,85﹣﹣﹣100分为优秀)请根据以上信息,解答下列问题:

(1)表中的a=_____,b=_____

(2)请根据频数分布表,画出相应的频数分布直方图;

(3)如果该校八年级共有150名学生,根据以上数据,估计该校八年级学生身体素质良好及以上的人数为_____

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