【题目】如图,已知二次函数的图象过点O(0,0),A(4,0),B(2,﹣),M是OA的中点.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设P是抛物线上的一点,过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q,要使四边形PQAM是菱形,求P点的坐标;
(3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,得曲线OB′A(B′为B关于x轴的对称点),在原抛物线x轴的上方部分取一点C,连接CM,CM与翻折后的曲线OB′A交于点D.若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,这样的点C是否存在?若存在求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1) y=x2﹣x.(2) P(1,﹣).(3) 点C的坐标为(2+2,)或(2﹣2,).
【解析】
试题(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式;
(2)由四边形PQAM是菱形,可知PQ=2且PQ∥x轴,因此点P、Q关于对称轴x=2对称,可得点P横坐标为1,从而求出点P的坐标;
(3)假设存在满足条件的点C.由△CDA的面积是△MDA面积的2倍,可得点C纵坐标是点D纵坐标的3倍,由此列方程求出点C的坐标.
试题解析:(1)∵抛物线过原点,∴设其解析式为:y=ax2+bx.
∵抛物线经过点A(4,0),B(2,﹣),
∴,解得,
∴二次函数解析式为:y=x2﹣x.
(2)∵y=x2﹣x=(x﹣2)2﹣,
∴抛物线对称轴为直线:x=2.
∵四边形PQAM是菱形,
∴PQ=MA=2,PQ∥x轴.
∴点P、Q关于对称轴x=2对称,
∴点P横坐标为1.
当x=1时,y=﹣=﹣.
∴P(1,﹣).
(3)依题意,翻折之后的抛物线解析式为:y=﹣x2+x.
假设存在这样的点C,
∵△CDA的面积是△MDA面积的2倍,
∴CD=2MD,∴CM=3MD.
如图所示,分别过点D、C作x轴的垂线,垂足分别为点E、点F,则有DE∥CF.
∴,
∴CF=3DE,MF=3ME.
设C(x,x2﹣x),
则MF=x﹣2,ME=MF=(x﹣2),OE=ME+OM=x+
∴D(x+,﹣(x+)2+(x+)).
∵CF=3DE,
∴x2﹣x=3[﹣(x+)2+(x+)],
整理得:x2﹣4x﹣8=0,
解得:x1=2+2,x2=2﹣2.
∴y1=,y2=,
∴存在满足条件的点C,点C的坐标为(2+2,)或(2﹣2,).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(4,﹣2)、B(﹣2,n)两点,与x轴交于点C.
(1)求k2,n的值;
(2)请直接写出不等式k1x+b<的解集;
(3)将x轴下方的图象沿x轴翻折,点A落在点A′处,连接A′B,A′C,求△A′BC的面积.
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【题目】为了解某校九年级学生立定跳远水平,随机抽取该年级50名学生进行测试,并把测试成绩(单位:m)绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图.
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组 | 频数 |
1.2≤x<1.6 | a |
1.6≤x<2.0 | 12 |
2.0≤x<2.4 | b |
2.4≤x<2.8 | 10 |
请根据图表中所提供的信息,完成下列问题:
(1)表中a= ,b= ,样本成绩的中位数落在 范围内;
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)该校九年级共有1000名学生,估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x<2.8范围内的学生有多少人?
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【题目】某校为了更好的开展“学校特色体育教育”,从全校八年级的各班分别随机抽取了5名男生和5名女生,组成了一个容量为60的样本,进行各项体育项目的测试,了解他们的身体素质情况.下表是整理样本数据,得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图:某校60名学生体育测试成绩频数分布表
成绩 | 划记 | 频数 | 百分比 |
优秀 | 正正正 | a | 30% |
良好 | 正正正正正正 | 30 | b |
合格 | 正 | 9 | 15% |
不合格 | 3 | 5% | |
合计 | 60 | 60 | 100% |
(说明:40﹣﹣﹣55分为不合格,55﹣﹣﹣70分为合格,70﹣﹣﹣85分为良好,85﹣﹣﹣100分为优秀)请根据以上信息,解答下列问题:
(1)表中的a=_____,b=_____;
(2)请根据频数分布表,画出相应的频数分布直方图;
(3)如果该校八年级共有150名学生,根据以上数据,估计该校八年级学生身体素质良好及以上的人数为_____.
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【题目】如图,某校教学楼AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的长为12米,坡角α为60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD进行改造,在保持坡脚C不动的情况下,学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)
(参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形.
(2)设AE与BF相交于点O,四边形ABEF的周长为16,BF=4,求AE的长和∠C的度数.
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【题目】如图,C是半圆O上一个动点,AB为半圆的直径,D是弧BC的中点,过点D作半圆O的切线DE交AC的延长线于点E.
(1)求证:AE⊥DE;
(2)①已知CE=2,DE=4,则AB= ;
②连接OC,DC,当∠BAC= 度时,四边形OBDC为菱形.
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【题目】已知点A为某封闭图形边界上一定点,动点P从点A出发,沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x,线段AP的长为y.表示y与x的函数关系的图象大致如图所示,则该封闭图形可能是( )
A. B. C. D.
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