【题目】如图,P为正方形ABCD的边AD上的一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂足分别为点E、F,已知AD=4.
(1)试说明AE2+CF2的值是一个常数;
(2)过点P作PM∥FC交CD于点M,点P在何位置时线段DM最长,并求出此时DM的值.
【答案】(1)16;(2)当x=2时,DM有最大值为1.
【解析】
(1)由已知∠AEB=∠BFC=90°,AB=BC,结合∠ABE=∠BCF,证明△ABE≌△BCF,可得AE=BF,于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数.
(2)设AP=x,则PD=4﹣x,由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP,△PDM∽△BAP,列出关于x的二次函数,求出DM的最大值.
解:(1)由已知∠AEB=∠BFC=90°,AB=BC,
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC,∴∠ABE=∠BCF.
∵在△ABE和△BCF中,AB=BC,∠ABE=∠BCF,∠AEB=∠BFC,
∴△ABE≌△BCF(AAS).
∴AE=BF.∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数.
(2)设AP=x,则PD=4﹣x,
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP,∴△PDM∽△BAP.
∴,即.
∴.
∵<0,当x=2时,DM有最大值为1.
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【题目】我市自开展“学习新思想,做好接班人”主题阅读活动以来,受到各校的广泛关注和同学们的积极响应,某校为了解全校学生主题阅读的情况,随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数,并制成下列统计图表.
某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表
文章阅读的篇数(篇) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7及以上 |
人数(人) | 20 | 28 | m | 16 | 12 |
请根据统计图表中的信息,解答下列问题:
(1)求被抽查的学生人数和的值;
(2)求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数;
(3)若该校共有800名学生,根据抽查结果估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数.
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【题目】某养鸡场有5000只鸡准备对外出售。从中随机抽取了一部分鸡,根据它们的质量(单位:kg),绘制出如下的统计图①和图②。请根据相关信息,解答下列问题:
Ⅰ.图①中的值为 ;
Ⅱ.求统计的这组数据的平均数、众数和中位数;
Ⅲ.根据样本数据,估计这5000只鸡中,质量为1.0kg的约为多少只?
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【题目】某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.
组别 | 时间/小时 | 频数/人数 |
A组 | 2 | |
B组 | m | |
C组 | 10 | |
D组 | 12 | |
E组 | 7 | |
F组 | 4 |
频数分布表
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)求频数分布表中m的值;
(2)求B组,C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数,并补全扇形统计图;
(3)已知F组的学生中,只有1名男生,其余都是女生,用列举法求以下事件的概率:从F组中随机选取2名学生,恰好都是女生。
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【题目】我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩,开展了以下课外活动:
代号 | 活动类型 |
A | 经典诵读与写作 |
B | 数学兴趣与培优 |
C | 英语阅读与写作 |
D | 艺体类 |
E | 其他 |
为了解学生的选择情况,现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项),并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.请根据统计图提供的信息回答下列问题(要求写出简要的解答过程).
(1)此次共调查了 名学生.
(2)将条形统计图补充完整.
(3)“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为 .
(4)若该校共有2000名学生,请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人?
(5)学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学(其中女生2名,男生2名)参加校园“金话筒”朗诵初赛,并最终确定两名同学参加决赛,请用列表或画树状图的方法,求出刚好一男一女参加决赛的概率.
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【题目】为了解“哈啰单车”的使用情况,小月对部分用户的骑行时间t(分)进行了随机抽查,将获得的数据分成四组(A:;B:;C:;D:),并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图.
(1)求D组所在扇形的圆心角的度数,并补全条形统计图;
(2)小月打算在C、D两组中各随机选一名用户进行采访,若这两组中各有两名女士,请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率.
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【题目】如图表示的是某班部分同学衣服上口袋的数目.
①从图中给出的信息得到学生衣服上口袋数目的中位数为 ,众数为 .
②根据如图信息,在给出的图表中绘制频数条形统计图,由此估计该班学生衣服上口袋数目为的概率.
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【题目】(8分)某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球(每个气排球的价格都相同,每个篮球的价格都相同).经洽谈,购买1个气排球和2个篮球共需210元;购买2个气排球和3个篮球共需340元.
(1)每个气排球和每个篮球的价格各是多少元?
(2)该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个,总费用不超过3200元,且购买气排球的个数少于30个,应选择哪种购买方案可使总费用最低?最低费用是多少元?
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【题目】如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标。
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