Question

8．如图，△ABC中，AC=BC，AC⊥BC，E为△ABC外一点，且∠CEA=45°，求证：AE⊥BE．

Answer 1

分析 首先过C点作CF⊥CE交BE的延长线于F，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=45°，得到∠ABC=∠CEA=45°，推出A，B，E，C四点共圆，由圆周角定理得到∠CAE=∠CBE，推出△ACE≌△BCF（SAS），于是得到∠AEC=∠F=45°，即可得到结论．

解答 证明：过C点作CF⊥CE交BE的延长线于F，
∵AC=BC，AC⊥BC，
∴∠ABC=45°，
∵∠CEA=45°，
∴∠ABC=∠CEA=45°，
∴A，B，E，C四点共圆，
∴∠CAE=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECF，
∴∠ACE=∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCF}\\{AC=BC}\\{∠CAE=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠AEC=∠F=45°，
∴∠AEF=∠AEC+∠CEF=90°，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线．