如图.在平面直角坐标系xoy中.直线与x 轴交于点A.与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是且经过A.C两点.与x轴的另一交点为点B． ①直接写出点B的坐标,②求抛物线解析式．若点P为直线AC上方的抛物线上的一点.连接PA.PC．求△PAC的面积的最大值.并求出此时点P的坐标．抛物线上是否存在点M.过点M作MN垂直x轴于点N.使得以点A.M.N为顶点的三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）（4分）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．

（2）（4分）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

（3）（4分）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第24题图

(1) ①B(1,0)

(2)

②y= 当x=0时，y＝2, 当y=0时，x=－4

∴ C(0,2),A(－4,0) ∵抛物线y=ax²+bx+c过A(－4,0), B(1,0)

∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x－1)

又∵抛物线过点C(0,2) ∴2=－4a ∴a=

∴y=x²x+2

(2)设P（m,m²m+2).

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q

∴Q(m,m+2)

∴PQ=m²m+2－(m+2)

=m²－2m

∵ =PQ4

=2PQ=－m²－4m=－(m+2)²+4

∴当m=－2时，ΔPAC的面积有最大值是4

此时P（－2，3）

（3）在RtΔAOC中，tan∠CAO= 在RtΔBOC中，tan∠BCO=

∴∠CAO=∠BCO ∵∠BCO+∠OBC=90°

∴∠CAO+∠OBC=90° ∴∠ACB=90°

∴ ΔABC∽ΔACO∽ΔCBO

① 当M点与C点重合，即M（0，2）时，ΔMAN∽ΔBAC

② 根据抛物线的对称性，当M(－3,2) 时，ΔMAN∽ΔABC

③ 当点M在第四象限时，设M（n,n²n+2），则N(n,0)

∴ MN=n²+n－2 , AN=n+4

当时，MN=AN 即n²+n－2=(n+4)

n²+2n－8=0 ∴ n₁= －4(舍), n₂=2

∴M（2，－3）

当时，MN=2AN n²+n－2=2(n+4)

n²－n－20=0 ∴ n₁= －4(舍), n₂=5

∴M（5，－18）

综上所述：存在M₁（0，2）,M₂(－3,2), M₃（2，－3）,M₄（5，－18）, 使得以点

A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>