Question

11．如图，AB是⊙O的直径，PB、PC是⊙O的切线，切点为B、C，连接PA交⊙O于D，∠BPC=2∠A．
（1）求证：CD⊥BP；
（2）求tan∠PCD的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，先证明∠PAB=∠CBA得到$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，所以∠CDA=∠DAB由此得到CD∥AB即可证明．
（2）如图2中，延长CD交PB于M，PA、BC交于点N，连接ON，先证明ON是△APB的中位线，设OK=a，PK=2a，则BK=$\sqrt{2}$a，BC=2$\sqrt{2}$a，PB=$\sqrt{6}$a，利用勾股定理求出CM、PM即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接AC、BD、PO．
∵PB、PC是切线，
∴∠OPC=∠OPB，PC=PB，
∴PO垂直平分BC，KC=KB，
∵∠OPB+∠PBK=90°，∠PBK+∠OBK=90°，
∴∠OBK=∠OPB，
∵∠BPC=2∠PAB，
∴∠OBK=∠PAB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠CDA=∠DAB，
∴CD∥AB，
∵AB⊥PB，
∴CD⊥PB．
（2）如图2中，延长CD交PB于M，PA、BC交于点N，连接ON，
由（1）可知∠NAB=∠NBA，
∴NA=NB，
∵AO=OB，
∴NO⊥AB，∵PB⊥AB，
∴ON∥PB，ON=$\frac{1}{2}$PB，
∴$\frac{OK}{PK}$=$\frac{ON}{PB}$=$\frac{1}{2}$，设OK=a，PK=2a，则BK=$\sqrt{2}$a，BC=2$\sqrt{2}$a，PB=$\sqrt{6}$a，
∵$\frac{1}{2}$•BC•PK=$\frac{1}{2}$•PB•CM，
∴CM=$\frac{BC•PK}{PB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a，
∴BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}a）^{2}-（\frac{4\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a，
∴PM=PB-BM=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴tan∠PCD=$\frac{PM}{CM}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}a}{\frac{4\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查切线的性质、圆的有关性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理勾股定理等知识，第一问解题的关键是证明CD∥AB，第二问解题的关键是三角形中位线定理灵活运用，设未知数求出相应的线段，属于中考压轴题，有一定的难度．