Question

17．如图，点E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，BF⊥DE于点F，交CD边于点G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若F是DE的中点，求∠CFE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明△BCG≌△DCE，即可得出结论；（2）连接BD，先求出∠E=67.5°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得出CF=EF，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠CDE++E=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE=90°，
∴∠CBG+∠E=90°，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠CDE}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE；
（2）解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CBD=45°，
∵F是DE的中点，BF⊥DE，
∴BE=BD，CF=$\frac{1}{2}$DE=EF，
∴∠E=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，∠FCE=∠E=67.5°，
∴∠CFE=180°-67.5°-67.5°=45°．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质；证明三角形全等和等腰三角形是解决问题的关键．