Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，点E是BC边上的中点，过A作AF⊥CD,AE⊥EF.

（1）若∠B=60°,AE平分∠BAF,DF=4.求AE的长.

（2）求证：AB+CF=EF

Answer 1

【答案】（1）2；（2）详见解析；

【解析】

（1）首先根据含30°直角三角形的性质求出AF，然后证明∠EAF=45°，利用三角函数求AE即可；

（2）取AF中点G，连接EG，根据中位线的性质可得EG∥CD，AB+CF=2EG，然后根据直角三角形的性质可得EG=GF，证明△GEF是等腰直角三角形即可.

解：（1）∵在平行四边形ABCD中，∠B=60°，DF=4，

∴∠D=60°，∠BAD=120°，

∵AF⊥CD，

∴∠DAF=30°，AF=DF=，

∴∠BAF=90°，

∴∠EAF=45°，

∵AE⊥EF，

∴AE=AF·cos45°=；

（2）取AF中点G，连接EG，

∵点E是BC边上的中点，

∴EG∥CD，EG=(AB+CF)，即AB+CF=2EG，

∵△AEF是直角三角形，

∴EG=GF，

∵AF⊥CD，

∴EG⊥AF，

∴ △GEF是等腰直角三角形，

∴EF=EG，

∴AB+CF=EF.