Question

【题目】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M ，与 BD 相交于点 N ，连接 BM 、 DN .

（1）求证： BN DM ；

（2）若 AB 4 ， AD 8，求 MD 的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DM=5.

【解析】

（1）由矩形的性质可得AD∥BC，通过“角边角”证明△BON≌△DOM，则BN DM；

（2）根据垂直平分线的性质可得BM=DM，设DM=x，则AM=8﹣x，在Rt△ABM中，利用勾股定理可得关于x的方程，然后求解方程即可.

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠OBN=∠ODM，

∵MN垂直平分BD，

∴BO=DO，∠BON=∠DOB，

∴△BON≌△DOM（ASA），

∴BN=DM；

（2）∵MN垂直平分BD，

∴BM=DM，

设DM=x，则AM=8﹣x，

在Rt△ABM中，，

则，

解得x=5，

则DM=5.