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【题目】如图,在ABC中,∠ACB=90°,点DAB上一点,以BD为直径的⊙OAC相切于点P

(1)求证:BP平分∠ABC

(2)若PC=1,AP=3,求BC的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】试题分析:(1)连接OP,首先证明OP∥BC,推出∠OPB=∠PBC,由OP=OB,推出∠OPB=∠OBP,由此推出∠PBC=∠OBP;
(2)作PH⊥AB于H.首先证明PC=PH=1,在Rt△APH中,求出AH,由△APH∽△ABC,求出AB、BH,由Rt△PBC≌Rt△PBH,推出BC=BH即可解决问题.

试题解析:

(1)连接OP

AC是⊙O的切线,

OPAC

∴∠APO=∠ACB=90°,

OPBC

∴∠OPB=∠PBC,

OP=OB

∴∠OPB=∠OBP,

∴∠PBC=∠OBP

BP平分∠ABC;

(2)作PHABH.则∠AHP=∠BHP=∠ACB=90°,

又∵∠PBC=∠OBPPB=PB

∴△PBC≌△PBH

PC=PH=1,BC=BH,

在Rt△APH中,AH=

在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2

∴(AP+PC)2+BC2=(AH+HB)2

即42+BC2=(+BC)2

解得

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