Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，垂足为点E．则以下4个结论：①AB=AC；②∠EBC=；③AE=CE；④∠EBC=中正确的有（　　）

A．①② B．②③  C．①②③     D．①②③④

Answer 1

A【考点】等腰三角形的判定与性质．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质求出AB=AC，进一步求得∠BAD=∠CAD=∠BAC；根据等角的余角相等即可求出∠EBC=∠DAC=∠BAC；根据勾股定理即可判断③，根据∠BAC≠∠ABC，∠EBC=∠BAC，即可判断④．

【解答】解：∵AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，∴①正确；

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠EBC+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，

∴∠EBC=∠DAC，

∴∠EBC=∠BAC，∴②正确；

∵AE²=AB²﹣BE²，CE²=BC²﹣BE²，AB≠BC，

∴AE≠CE，∴③错误；

∵∠BAC≠∠ABC，∠EBC=∠BAC，

∴∠EBC≠∠ABC，∴④错误；

∴①②都正确；

故选A．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等角的余角的性质和勾股定理的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，题目比较典型，难度不大．