Question

14．如图，平面直角坐标系中，∠BAC=45°，AC在y轴上，∠DAE=35°，AE，AB，AD分别交x轴于点F、G、H．在∠DAE旋转过程中，设AE交x轴于F，∠AGH的平分线与∠AHF的平分线交于点M，∠COF的平分线与∠OFE的平分线交于点N．下列两个结论：①∠N+∠M为定值；②∠N-∠M为定值．其中有且仅有一个是正确的，请你选出正确的结论，并求出其值．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质和三角形的内角和，可证当改变α的大小时，∠N+∠M的值不会改变．

解答 解：①∠N+∠M为定值；
设∠HAC=α，∠GAO=∠AGO=45°，
∴∠FHA=∠HAG+∠AGH=90°+α．
∵HM平分∠AHF，
∴∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA=45°+$\frac{1}{2}$α．
∵GM平分∠AGH，
∴∠HGM=$\frac{1}{2}$∠AGO=22.5°．
∵∠FHM=∠HMG+∠MGH，
∴45°+$\frac{1}{2}$α=∠M+22.5°，
∴∠M=22.5°+$\frac{1}{2}$α．
又∵FN平分∠EFO，
∴∠NFO=$\frac{1}{2}$∠EFO=$\frac{1}{2}$（∠FOA+∠FAO）=$\frac{1}{2}$（90°+35°+α）=62.5°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠N=180°-∠NFO-∠NOF
=180°-（62.5°+$\frac{1}{2}$α）-45°
=72.5°-$\frac{1}{2}$α．
∴∠N+∠M=（72.5°-$\frac{1}{2}$α）+（22.5°+$\frac{1}{2}$α）=95°．

点评 本题主要考查三角形的内角和、坐标与图形的性质、平行线的性质、三角形的面积；难点在于看懂已知的图形，根据已知条件，充分挖掘隐含的条件．此类题学生丢分率较高，需注意．